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Fonction exponentielle, lecture graphique, logiciel de calcul formel
Fonctions
.icon_annales.png La courbe représente dans un repère orthogonal une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [-4 ; 3].

Sujet 1Fonction exponentielle, lecture graphique, logiciel de calcul formel55 min

France métropolitaine, La Réunion, juin 2015

ES – Enseignement spécifique
L – Enseignement de spécialité

Fonctions

Exercice

6 pts

La courbe (𝒞) ci-après représente dans un repère orthogonal une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [– 4 ; 3]. Les points A d’abscisse – 3 et B(0 ; 2) sont sur la courbe (𝒞).

Sont aussi représentées sur ce graphique les tangentes à la courbe (𝒞) respectivement aux points A et B, la tangente au point A étant horizontale. On note ′ la fonction dérivée de f.

img1

Les parties A et B sont indépendantes.

 

Partie A

1 Par lecture graphique, déterminer :

a. ′ (– 3) ;
0,5 pt

b. f (0) et ′(0).
0,75 pt

2 La fonction f est définie sur [- 4 ; 3] par f (x) = a + (x + b)e xa et b sont deux réels que l’on va déterminer dans cette partie.

a. Calculer ′(x) pour tout réel x de [– 4 ; 3]. 0,5 pt

b. À l’aide des questions 1.b. et 2.a., montrer que les nombres a et b vérifient le système suivant :

{ a+b=2 1b= 3
0,75 pt

c. Déterminer alors les valeurs des nombres a et b. 0,5 pt

 

Partie B

On admet que la fonction f est définie sur[– 4 ; 3] par :

f (x) = – 2 + (x + 4)e– x.

1 Justifier que, pour tout réel x de [– 4 ; 3], ′(x) = (– x – 3)e– x et en déduire le tableau de variation de f sur [– 4 ; 3]. 0,75 pt

2 Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur [– 3 ; 3], puis donner une valeur approchée de α à 0,01 près par défaut. 0,75 pt

3 On souhaite calculer l’aire S, en unité d’aire, du domaine délimité par la courbe (𝒞), l’axe des abscisses et les droites d’équation x = – 3 et x = 0.

a. Exprimer, en justifiant, cette aire à l’aide d’une intégrale. 0,75 pt

b. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

1

F(x):=–2x+ (–x–5)*exp(–x)

//Interprète F

//Succès lors de la compilation F

x –>–2*x+(–x–5)*exp(–x)

2

derive (F(x))

–exp(–x)–exp(–x)*(–x–5)–2

3

simplifier (–exp(–x)–exp(–x)*(–x–5)–2)

x*exp(–x)+4*exp(–x)–2

À l’aide de ces résultats, calculer la valeur exacte de l’aire S, puis sa valeur arrondie au centième. 0,75 pt

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