Exercice

Partie A

On considère la fonction f définie sur [3 ; +∞[ par :

f(x)= 5( ln⁡x–1 ) ( x+5ln⁡x ) 2 .

1 Montrer que pour tout x de [3 ; +∞[, f( x )≤1.

2 On désigne par f´ la fonction dérivée de la fonction f.

Montrer que pour tout x de l’intervalle [3 ; +∞[, f ′ ( x )= 5( lnx−1 ) ( x+5lnx ) 2.

3 Déterminer le sens de variation de la fonction f sur [3 ; +∞[ et dresser le tableau de variation de la fonction f sur cet intervalle.

4 Montrer que sur l’intervalle [ 3;50 ], l’équation f( x )=0,5 possède une unique solution α puis, à l’aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à l’entier supérieur par excès de α.

Partie B

L’organisation chargée de vendre les billets pour assister aux différentes épreuves d’un grand événement sportif a mis en vente ces billets environ deux ans avant le début officiel des épreuves.

Une étude, portant sur la progression des ventes de ces billets, à partir du troisième jour de mise en vente, a permis de modéliser l’évolution des ventes des billets selon la fonction f étudiée dans la partie A.

La proportion des ventes effectuées par rapport à l’ensemble des billets x jours après le début de la mise en vente, est donnée par la valeur f( x ), arrondie au millième, pour tout x entier de l’intervalle [ 3;700 ].

Ainsi la valeur approchée de f( 3 ), arrondie au millième, est 0,353 ; cela signifie que trois jours après le début de la mise en vente des billets, 35,3 % des billets étaient déjà vendus.

1 En utilisant la partie A, déterminer le nombre de jours nécessaires à la vente de 50 % de l’ensemble des billets.

2 On considère l’algorithme suivant (la fonction f est celle qui est définie dans lapartie A).

a. Si l’utilisateur de cet algorithme choisit 0,9 comme valeur de P, la valeur de sortie de l’algorithme est 249. Que signifie ce résultat pour les organisateurs ?

b. Si l’utilisateur de cet algorithme choisit 0,5 comme valeur de P, quelle valeur de X apparaîtra à la sortie de l’algorithme ?