Exercice

Une municipalité vient de mettre en place le service « vélo en liberté ». Il s’agit d’un service de location de vélos à la journée.

Les vélos sont disponibles sur deux sites A et B et doivent être ramenés en fin de journée indifféremment dans l’un des deux sites.

Après une étude statistique, on considère que :

– si un vélo est loué sur le site A, la probabilité d’être ramené en A est 0,6 ;

– si un vélo est loué sur le site B, la probabilité d’être ramené en B est 0,7.

Les résultats numériques seront arrondis à 10^– 2 près.

1 En notant respectivement A et B les états « le vélo est en A » et « le vélo est en B », traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste de sommets A et B. 0,75 pt

2 Donner M la matrice de transition de ce graphe en considérant les sommets dans l’ordre A, B. 0,75 pt

3 Pour tout entier naturel n, on note a_n (respectivement b_n) la probabilité qu’un vélo quelconque soit, après n jours, sur le site A (respectivement sur le site B).

On note P_n la matrice (a_n    b_n) correspondant à l’état probabiliste après n jours.

Le premier jour, tous les vélos sont distribués également sur les deux sites.

On a donc P₀ = (0,5    0,5).

a. On donne :

M 2 =( 0,48 0,52 0,39 0,61 ).

Calculer P₂ en donnant le détail des calculs matriciels. 0,75 pt

b. Calculer P₄ et interpréter le résultat dans le contexte du problème. 0,75 pt

c. Déterminer l’état stable du graphe, noté (a    b). 0,75 pt

d. Tous les mois, un véhicule est affecté à la redistribution des vélos afin de rétablir au mieux la répartition initiale qui était de 70 vélos sur chaque site.

La municipalité envisage d’affecter un véhicule pouvant contenir 12 vélos.

Ce choix paraît-il adapté à la situation ? 1,25 pt