Exercice

Une entreprise artisanale produit des parasols. Elle en fabrique entre 1 à 18 par jour. Le coût de fabrication unitaire est modélisé par une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [1 ; 18].

On note x le nombre de parasols produits par jour et f (x) le coût de fabrication unitaire exprimé en euros.

Dans le repère orthogonal ci-avant, on a tracé la courbe représentative 𝒞 de la fonction f et la tangente (T_A) à la courbe 𝒞 au point A(5 ; 55). Le point B(10 ; 25) appartient à la tangente (T_A).

On admet que f(x) = 2x + 5 + 40 e^{- 0,2x + 1} pour tout x appartenant à l’intervalle [1 ; 18].

1 a. Déterminer graphiquement la valeur de f′ (5) en expliquant la démarche utilisée. 0,5 pt

b. Déterminer l’expression de f′ (x) pour tout x appartenant à l’intervalle[1 ; 18]. 0,5 pt

c. Expliquer comment retrouver la réponse obtenue dans la question 1. a. 0,5 pt

2 a. Montrer que 2 – 8e^{- 0,2x + 1} ≥ 0 est équivalent à x ≥ 5 + 5ln4. 0,75 pt

b. En déduire le signe de f′ (x) et le tableau de variation de f sur [1 ; 18]. Les valeurs seront arrondies au centime d’euro dans le tableau de variation. 0,75 pt

3 Déterminer, par le calcul, le nombre de parasols que doit produire l’entreprise pour que le coût de fabrication unitaire soit minimal. 0,5 pt

4 a. Montrer que la fonction F définie par F(x) = x² + 5x - 200e^{- 0,2x + 1} est une primitive de f sur l’intervalle [1 ; 18]. 0,5 pt

b. Déterminer la valeur exacte de l’intégrale I= ∫ 5 15 f( x )dx. 0,5 pt

c. Interpréter dans le contexte de l’exercice la valeur de 1 10 I. 0,5 pt