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Mai
2016
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Mathématiques
Loi binomiale et probabilité
Probabilités
Une chocolaterie fabrique deux sortes de chocolats, des chocolats noirs et des chocolats au lait.

Sujet 9Loi binomiale et probabilité

Concours Geipi-Polytech, mai 2016

Concours

Probabilités

Exercice

img1

L’usage de la calculatrice est autorisé.

Une chocolaterie fabrique deux sortes de chocolats, des chocolats noirs et des chocolats au lait. 60 % des chocolats fabriqués sont noirs. Parmi ceux-ci, 70 % sont fourrés, tandis que 30 % seulement des chocolats au lait sont fourrés.

Partie A

Dans cette partie, pour chaque probabilité demandée, on donnera sa valeur exacte.

Un client fait une dégustation de chocolats et il en choisit un au hasard.

On considère les événements suivants :

N « le chocolat choisi est noir ».

F « le chocolat choisi est fourré ».

1 Donner la probabilité P1 que le chocolat choisi soit noir.

2 Déterminer la probabilité P2 que le chocolat choisi soit noir et fourré.

Justifier la réponse.

3 On note P3 la probabilité que le chocolat choisi soit fourré.

Justifier que P3 = 0,54.

Partie B

Un client achète une boîte de n chocolats, où n est un entier naturel non nul.

Chaque chocolat mis dans la boîte est choisi au hasard et on suppose le nombre de chocolats suffisamment grand pour que l’on puisse considérer que les choix successifs sont faits de façon identique et indépendante.

On note Xn la variable aléatoire représentant le nombre de chocolats fourrés contenus dans la boîte.

1 Xn suit une loi binominale, dont on précisera les paramètres.

2 Dans cette question n = 12 et, pour chaque probabilité demandée, on donnera une valeur approchée à 10– 4 près.

a. Donner la probabilité P4 que la moitié des chocolats de la boîte soient fourrés.

b. Donner la probabilité P5 que la boîte contienne au moins un chocolat fourré.

c. Donner la probabilité P6 que la boîte contienne au plus trois chocolats fourrés.

3 Dans cette question, n est quelconque.

a. Donner, en fonction de n, la probabilité qn que la boîte contienne au moins un chocolat fourré.

b. Déterminer le nombre minimum n0 de chocolats que doit acheter le client afin que la probabilité que la boîte contienne au moins un chocolat fourré soit strictement supérieure à 0,98. Détailler les calculs.

Partie C

Dans cette partie, pour chaque probabilité demandée, on donnera une valeur approchée à 10– 4 près.

Une étude a montré que la variable aléatoire représentant le poids, exprimé en grammes, d’un chocolat choisi au hasard dans l’ensemble de la production suit une loi normale d’espérance m = 15 et d’écart-type σ = 2.

Le service qualité effectue un contrôle et choisit au hasard un chocolat dans l’ensemble de la production.

1 Donner la probabilité P7 que le chocolat choisi pèse plus de 17 grammes.

2 Donner la probabilité P8 que le chocolat choisi pèse moins de 13 grammes.

3 Donner la probabilité P9 que le chocolat choisi pèse entre 12 et 18 grammes.

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