Exercice

Les sites internet A, B, C ont des liens entre eux. Un internaute connecté sur un de ces trois sites peut, à toutes les minutes, soit y rester, soit utiliser un lien vers un des deux autres sites.

• Pour un internaute connecté sur le site A, la probabilité d’utiliser le lien vers B est de 0,2 et celle d’utiliser le lien vers C est de 0,2.

• Pour un internaute connecté sur le site B, la probabilité d’utiliser le lien vers A est de 0,1 et celle d’utiliser le lien vers C est de 0,4.

• Pour un internaute connecté sur le site C, la probabilité d’utiliser le lien vers A est de 0,2, mais il n’y a pas de lien direct avec B.

L’unité de temps est la minute, et à un instant t = 0, le nombre de visiteurs est, respectivement sur les sites A, B et C : 100, 0 et 0.

On représente la distribution des internautes sur les trois sites après t minutes par une matrice N_t : ainsi N₀ = (100   0   0).

On suppose qu’il n’y a ni déconnexion pendant l’heure (de t = 0 à t = 60), ni nouveaux internautes visiteurs.

1 Représenter le graphe probabiliste de sommets A, B et C correspondant à la situation décrite. 0,75 pt

2 Écrire la matrice M de transition associée à ce graphe (dans l’ordre A, B, C). 0,75 pt

3 On donne :

M 2 =( 0,42 0,22 0,36 0,19 0,27 0,54 0,28 0,04 0,68 ); M 20 ≈( 0,3125 0,125 0,5625 0,3125 0,125 0,5625 0,3125 0,125 0,5625 ).

Calculer N₂. Interpréter le résultat obtenu. 0,75 pt

4 Calculer N₀ × M²⁰. Conjecturer la valeur de l’état stable et interpréter la réponse. 1 pt

5 Un des internautes transmet un virus à tout site qu’il visitera.

Il se connecte initialement sur le site C et commence sa navigation.

À l’instant t = 0, le site C est donc infecté.

a. Quelle est la probabilité qu’à l’instant t = 1, le site A soit infecté ? 0,75 pt

b. Quelle est la probabilité qu’à l’instant t = 2, les trois sites soient infectés ? 1 pt