Exercice

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

On rappelle que la partie réelle d’un nombre complexe z est notée ℛ(z).

1 Déterminer l’écriture exponentielle du nombre complexe u = 1 – i.

2 Déterminer, pour tout réel θ, la forme algébrique et l’écriture exponentielle du nombre complexe e^iθ(1 – i).

3 Déduire des questions précédentes que, pour tout réel θ :

cos(θ)+sin(θ)= 2 cos( θ– π 4 ).

Partie B

Dans cette partie, on admet que, pour tout réel θ :

cos(θ)+sin(θ)= 2 cos( θ– π 4 ).

On considère les fonctions f et g définies sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

f(x) = e ^–x cos(x) et g(x) = e ^–x.

On définit la fonction h sur [0 ; +∞[ par h(x) = g(x) – f(x).

Les représentations graphiques 𝒞_f, 𝒞_g et 𝒞_h des fonctions f, g et h sont données ci-dessous dans un repère orthogonal.

1 Conjecturer :

a. les limites des fonctions f et g en +∞ ;

b. la position relative de 𝒞_f par rapport à 𝒞_g ;

c. la valeur de l’abscisse x pour laquelle l’écart entre les deux courbes 𝒞_f et 𝒞_g est maximal.

2 Justifier que 𝒞_g est située au-dessus de 𝒞_f sur l’intervalle [0 ; +∞[.

3 Démontrer que la droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale aux courbes 𝒞_f et 𝒞_g.

4a. On note hʹ la fonction dérivée de la fonction h sur l’intervalle [0 ; +∞[.

Démontrer que, pour tout x de l’intervalle [0 ; +∞[ :

h ′ (x)= e –x [ 2 cos( x– π 4 )–1 ].

b. Justifier que, sur l’intervalle [ 0; π 2 ], 2 cos( x– π 4 )–1≥0 et que, sur l’intervalle [ π 2 ;2π ], 2 cos( x– π 4 )–1≤0.

c. En déduire le tableau de variation de la fonction h sur l’intervalle [0 ; 2π].

5 On admet que, sur l’intervalle [0 ; +∞[, la fonction H définie par :

H(x)= 1 2 e –x [–2+cos(x)–sin(x)]

est une primitive de la fonction h.

On note 𝒟 le domaine du plan délimité par les courbes 𝒞_f et 𝒞_g, et les droites d’équations x = 0 et x = 2π.

Calculer l’aire 𝒜 du domaine 𝒟, exprimée en unités d’aire.