Exercice

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Une boîte contient 200 médailles souvenir, dont 50 sont argentées, les autres dorées.

Parmi les argentées, 60 % représentent le château de Blois, 30 % le château de Langeais, les autres le château de Saumur.

Parmi les dorées, 40 % représentent le château de Blois, les autres le château de Langeais.

On tire au hasard une médaille de la boîte. Le tirage est considéré équiprobable et on note :

A l’événement « la médaille tirée est argentée » ;

D l’événement « la médaille tirée est dorée » ;

B l’événement « la médaille tirée représente le château de Blois » ;

L l’événement « la médaille tirée représente le château de Langeais » ;

S l’événement « la médaille tirée représente le château de Saumur ».

1 Dans cette question, on donnera les résultats sous la forme d’une fraction irréductible.

a. Calculer la probabilité que la médaille tirée soit argentée et représente le château de Langeais.

b. Montrer que la probabilité que la médaille tirée représente le château de Langeais est égale à 21 40.

c. Sachant que la médaille tirée représente le château de Langeais, quelle est la probabilité que celle-ci soit dorée ?

2 Sachant que la médaille tirée représente le château de Saumur, donner la probabilité que celle-ci soit argentée.

Partie B

Une médaille est dite conforme lorsque sa masse est comprise entre 9,9 et 10,1 grammes.

On dispose de deux machines M₁ et M₂ pour produire les médailles.

1 Après plusieurs séries de tests, on estime qu’une machine M₁ produit des médailles dont la masse X en grammes suit la loi normale d’espérance 10 et d’écart-type 0,06.

On note C l’événement « la médaille est conforme ».

Calculer la probabilité qu’une médaille produite par la machine M₁ ne soit pas conforme. On donnera le résultat arrondi à 10^–3 près.

2 La proportion des médailles non conformes produites par la machine M₁ étant jugée trop importante, on utilise une machine M₂ qui produit des médailles dont la masse Y en grammes suit la loi normale d’espérance μ = 10 et d’écart-type σ.

a. Soit Z la variable aléatoire égale à Y–10 σ. Quelle est la loi suivie par la variable Z ?

b. Sachant que cette machine produit 6 % de pièces non conformes, déterminer la valeur arrondie au millième de σ.