Exercice Vrai-Faux

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

1 Proposition 1

Pour tout entier naturel n, le chiffre des unités de n² + n n’est jamais égal à 4.          1 pt

2 On considère la suite u définie, pour n ≥ 1, par :

u n = 1 n PGCD(20;n).

Proposition 2

La suite (u_n) est convergente.          1 pt

3 Proposition 3

Pour toutes matrices A et B carrées de dimension 2, on a A × B = B × A.          1 pt

4 Un mobile peut occuper deux positions A et B. À chaque étape, il peut soit rester dans la position dans laquelle il se trouve, soit en changer.

Pour tout entier naturel n, on note :

● A_n l’événement « le mobile se trouve dans la position A à l’étape n » et a_n sa probabilité.

● B_n l’événement « le mobile se trouve dans la position B à l’étape n » et b_n sa probabilité.

● X_n la matrice colonne ( a n b n ).

On admet que, pour tout entier naturel n, X_{n + 1} = M × X_n avec :

M=( 0,550,3 0,450,7 ).

a. Proposition 4

La probabilité P_An (B_n+1) vaut 0,45.          1 pt

b. Proposition 5

Il existe un état initial X 0 =( a 0 b 0 ) tel que la probabilité d’être en B à l’étape 1 est trois fois plus grande que celle d’être en A à l’étape 1, autrement dit tel que b₁ = 3a₁.          1 pt