Exercice

Partie A

On considère les matrices M de la forme M=( a b 5 3 ), où a et b sont des nombres entiers.

Le nombre 3a – 5b est appelé le déterminant de M. On le note det(M).

Ainsi det(M)= 3a– 5b.

1 Dans cette question, on suppose que det(M) ≠ 0 et on pose :

N= 1 det(M) ( 3 –b –5 a ).

Justifier que N est l’inverse de M.          0,5 pt

2 On considère l’équation (E) : det(M) =  3. On souhaite déterminer tous les couples d’entiers (a ; b) solutions de l’équation (E).

a. Vérifier que le couple (6 ; 3) est une solution de (E).          0,25 pt

b. Montrer que le couple d’entiers (a ; b) est solution de (E) si et seulement si 3(a – 6) = 5(b – 3).          0,5 pt

c. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E).          0,25 pt

Partie B

1 On pose Q=( 6 3 5 3 ).

En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de Q.

2 Codage avec la matrice Q

Pour coder un mot de deux lettres à l’aide de la matrice Q=( 6 3 5 3 ), on utilise la procédure ci-dessous :

Étape 1 : On associe au mot la matrice X=( x 1 x 2 ), où x₁ est l’entier correspondant à la première lettre du mot et x₂ l’entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous :

Étape 2 : La matrice X est transformée en la matrice Y=( y 1 y 2 ) telle que Y = QX.

Étape 3 : La matrice Y est transformée en la matrice R=( r 1 r 2 ) telle que r₁ est le reste de la division euclidienne de y₁ par 26 et r₂ est le reste de la division euclidienne de y₂ par 26.

Étape 4 : À la matrice R=( r 1 r 2 ), on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l’étape 1.

Exemple : JE→X=( 9 4 )→Y=( 66 57 )→R=( 14 5 )→OF.

Le mot JE est codé en le mot OF.

Coder le mot DO.          1 pt

3 Procédure de décodage

On conserve les mêmes notations que pour le codage.

Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y telle que :

Y = QX.

a. Démontrer que 3X = 3Q^–1Y, puis que :

{ 3 x 1 =3 r 1 –3 r 2 [ 26 ] 3 x 2 =–5 r 1 +6 r 2 [ 26 ]          1 pt

b. En remarquant que 9 × 3 ≡ 1 [26], montrer que :

{ x 1 ≡ r 1 – r 2 [ 26 ] x 2 ≡7 r 1 +2 r 2 [ 26 ]          0,75 pt

c. Décoder le mot SG.          0,75 pt