Exercice

Le gestionnaire d’un site web, composé de trois pages web numérotées de 1 à 3 et reliées entre elles par des liens hypertextes, désire prévoir la fréquence de connexion sur chacune de ses pages web.

Des études statistiques lui ont permis de s’apercevoir que :

● Si un internaute est sur la page n° 1, alors il ira, soit sur la page n° 2 avec la probabilité 1 4, soit sur la page n° 3 avec la probabilité 3 4.

● Si un internaute est sur la page n° 2, alors, il ira, soit sur la page n° 1 avec la probabilité 1 2, soit il restera sur la page n° 2 avec la probabilité 1 4, soit il ira sur la page n° 3 avec la probabilité 1 4.

● Si un internaute est sur la page n° 3, alors, soit il ira sur la page n° 1 avec la probabilité 1 2, soit il ira sur la page n° 2 avec la probabilité 1 4, soit il restera sur la page n° 3 avec la probabilité 1 4.

Pour tout entier naturel n, on définit les événements et les probabilités suivantes :

A_n « après la n-ième navigation, l’internaute est sur la page n° 1 » et on note a_n = P(A_n).

B_n « après la n-ième navigation, l’internaute est sur la page n° 2 » et on note b_n = P(B_n).

C_n « après la n-ième navigation, l’internaute est sur la page n° 3 » et on note c_n = P(C_n).

1 Montrer que, pour tout entier naturel n, a n+1 = 1 2 b n + 1 2 c n.

On admet que, de même :

b n+1 = 1 4 a n + 1 4 b n + 1 4 c n et c n+1 = 3 4 a n + 1 4 b n + 1 4 c n .

Ainsi :

{ a n+1 = 1 2 b n + 1 2 c n b n+1 = 1 4 a n + 1 4 b n + 1 4 c n c n+1 = 3 4 a n + 1 4 b n + 1 4 c n

2 Pour tout entier naturel n, on pose U n =( a n b n c n ).

U 0 =( a 0 b 0 c 0 ) représente la situation initiale, avec a₀ + b₀ + c₀ = 1.

Montrer que, pour tout entier naturel n, U_n + 1 = MU_n où M est une matrice 3 × 3 que l’on précisera.

En déduire que, pour tout entier naturel n, U_n = MⁿU₀.

3 Montrer qu’il existe une seule matrice colonne U=( x y z ) telle que :

x + y + z = 1 et MU = U.

4 Un logiciel de calcul formel a permis d’obtenir l’expression de Mⁿ, n étant un entier naturel non nul :

M n =( 1 3 + ( –1 2 ) n ×2 3 1 3 + ( –1 2 ) n –3 1 3 + ( –1 2 ) n –3 1 4 1 4 1 4 5 12 + ( – ( –1 2 ) n )×2 3 5 12 + – ( –1 2 ) n –3 5 12 + – ( –1 2 ) n –3 )

Pour tout entier naturel n non nul, exprimer a_n, b_n et c_n en fonction de n. En déduire que les suites (a_n), (b_n) et (c_n) convergent vers des limites que l’on précisera.

5 Interpréter les résultats obtenus et donner une estimation des pourcentages de fréquentation du site à long terme.