Exercice

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Un lycée d’une grande ville de province organise un forum des grandes écoles de la région pour aider ses élèves dans leurs choix d’orientation post-bac.

Partie A

Une des écoles a effectué une étude sur la mobilité des étudiants de la promotion de 2008 en ce qui concerne les choix de carrière. Elle a relevé qu’en 2008, à la fin de leurs études, 25 % des diplômés sont partis travailler à l’étranger, alors que le reste de la promotion a trouvé du travail en France. On a observé ensuite qu’à la fin de chaque année, 20 % des personnes ayant opté pour l’étranger reviennent sur un poste en France, alors que 10 % des personnes travaillant en France trouvent un poste à l’étranger. On considère que cette situation perdure.

On note P_n = (e_n    l_n) la matrice correspondant à l’état probabiliste en 2008 + n, avec e_n la probabilité que la personne travaille à l’étranger, l_n celle qu’elle travaille en France. Ainsi P₀ = (0,25    0,75).

1 Proposer le graphe probabiliste associé à cette situation. On désignera par E (étranger) et F (France) les deux sommets.

2 Donner la matrice de transition M associée en prenant les sommets dans l’ordre E, puis F.

3 Montrer qu’en 2011, la proportion des étudiants de la promotion 2008 travaillant à l’étranger est de 30,475 %.

4 Déterminer l’état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu.

Partie B

Pour clôturer cette journée, un groupe de lycéens musiciens a décidé d’organiser un concert. Ils décident de faire le tour de tous les lycées de la ville et de distribuer des prospectus sur le trajet pour faire de la publicité pour cette soirée. Les membres du groupe ont établi le graphe ci-dessous. Les sommets représentent les différents lycées et les arêtes, les rues reliant les établissements. Les arêtes sont pondérées par les durées des trajets entre deux sommets consécutifs exprimées en minutes.

1 Existe-t-il un trajet d’un lycée à un autre permettant de parcourir toutes les rues une fois et une seule ? Si oui, donner un tel trajet, si non, expliquer pourquoi.

2 Arrivé en retard au lycée A, un membre du groupe veut trouver le chemin le plus rapide pour rejoindre ses camarades au lycée G. Quel trajet peut-il prendre ? Quelle est alors la durée du parcours ?