Exercice

Une entreprise s’intéresse au nombre d’écrans 3D qu’elle a vendus depuis 2010 :

Le nombre d’écrans 3D vendus par l’entreprise l’année (2010 + n) est modélisé par une suite (u_n), arithmético-géométrique, de premier terme u₀ = 0.

On rappelle qu’une suite arithmético-géométrique vérifie, pour tout entier naturel n, une relation de récurrence de la forme :

u_n+1 = a × u_n + b,

où a et b sont deux réels.

1a. En supposant que u₁ = 5 000, déterminer la valeur de b. 0,5 pt

b. En supposant, de plus, que u₂ = 11 000, montrer que, pour tout entier naturel n, on a :

u_n+1 = 1,2 × u_n + 5 000. 0,5 pt

2a. Calculer u₃ et u₄. 0,5 pt

b. En 2013 et 2014, l’entreprise a vendu respectivement 18 000 et 27 000 écrans 3D. La modélisation semble-t-elle pertinente ? 0,75 pt

Dans toute la suite, on fait l’hypothèse que le modèle est une bonne estimation du nombre d’écrans 3D que l’entreprise va vendre jusqu’en 2022.

3 On considère la suite (v_n) définie pour tout entier naturel n par :

v_n = u_n + 25 000.

a. Démontrer que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison 1,2. Préciser la valeur de son premier terme v₀. 0,75 pt

b. Montrer que pour tout entier naturel n :

u_n = 25 000 × 1,2ⁿ – 25 000. 0,75 pt

4 On souhaite connaître la première année pour laquelle le nombre de ventes d’écrans 3D dépassera 180 000 unités.

a. Prouver que résoudre l’inéquation u_n > 180 000 revient à résoudre l’inéquation 1,2ⁿ > 8,2. 0,75 pt

b. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il détermine et affiche le plus petit entier naturel n, solution de l’inéquation 1,2ⁿ > 8,2. 1 pt

c. Déterminer cet entier naturel n. 0,75 pt

5 À partir de 2023, l’entreprise prévoit une baisse de 15 % par an du nombre de ses ventes d’écrans 3D. Combien d’écrans 3D peut-elle prévoir de vendre en 2025 ? 0,75 pt