Exercice

L’entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d’entretien aux propriétaires de piscines privées.

Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année, 12 % de contrats supplémentaires sont souscrits et 6 contrats résiliés. Il se fonde sur ce constat pour estimer le nombre de contrats annuels à venir.

En 2015, l’entreprise PiscinePlus dénombrait 75 contrats souscrits.

On modélise la situation par une suite (u_n), où u_n représente le nombre de contrats souscrits auprès de l’entreprise PiscinePlus l’année 2015 + n. Ainsi, on a u₀ = 75.

1 a. Estimer le nombre de contrats d’entretien en 2016. 0,5 pt

b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :

u n+1 =1,12 u n −6.        0,75 pt

2 L’entreprise PiscinePlus peut prendre en charge un maximum de 100 contrats avec son nombre actuel de salariés. Au-delà, l’entreprise devra embaucher davantage de personnel.

On cherche à connaître en quelle année l’entreprise devra embaucher. Pour cela, on utilise l’algorithme suivant :

a. Recopier et compléter la ligne L9. 0,25 pt

b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l’algorithme ci-avant. On arrondira à l’unité.

c. Donner la valeur affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme, puis interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice. 0,5 pt

3 On rappelle que, pour tout entier naturel n, on a :

u n+1 =1,12 u n −6, où u 0 =75.

On pose pour tout entier naturel n :

v n = u n −50.

a. Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme. 0,5 pt

b. En déduire l’expression de v_n en fonction de n, puis montrer que, pour tout entier naturel n, on a :

u n =25× 1,12 n +50.                         0,75 pt

c. Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation u n >100. 0,75 pt

d. Quel résultat de la question 2retrouve-t-on ? 0,5 pt