Conforme au programme
Inde
Avril
2016
Bac
Spécialité
Tle ES
Mathématiques
Graphe, matrice, suite, algorithme
Algorithmique
Matrices
Suites
.icon_annales.png Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.

Sujet 7Graphe, matrice, suite, algorithme45 min

Inde, avril 2016

ES – Enseignement de spécialité

Matrices

Suites

Algorithmique

Exercice

5 pts

Une étude statistique sur une population d’acheteurs a montré que :

 90 % des personnes qui ont fait leur dernier achat en utilisant Internet affirment vouloir continuer à utiliser Internet pour faire le suivant. Les autres personnes comptent faire leur prochain achat en magasin.

 60 % des personnes qui ont fait leur dernier achat en magasin affirment vouloir continuer à effectuer le suivant en magasin. Les autres comptent effectuer leur prochain achat en utilisant Internet.

Dans toute la suite de l’exercice, n désigne un entier naturel non nul. Une personne est choisie au hasard parmi les acheteurs. On note :

 an la probabilité que cette personne fasse son n-ième achat sur Internet ;

 bn la probabilité que cette personne fasse son n-ième achat en magasin. On suppose de plus que a1 = 1 et b1 = 0.

On note Pn = (an bn) l’état probabiliste correspondant au n-ième achat.

Ainsi P1 = (1   0)

On note :

 A l’état « la personne effectue son achat sur Internet » ;

 B l’état « la personne effectue son achat en magasin ».

1 Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. 0,5 pt

2 Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en prenant les sommets dans l’ordre alphabétique. 0,5 pt

3a. Calculer la matrice M4. 0,5 pt

b. En déduire que la probabilité que la personne interrogée fasse son 5e achat sur Internet est égale à 0,812 5. 0,5 pt

4 On note P = (a  b) 1’état stable associé à ce graphe.

a. Montrer que les nombres a et b sont solutions du système :

{ 0,1a0,4b=0    a +  b   =1 0,5 pt

b. Résoudre le système précédent. 0,5 pt

c. À long terme, quelle est la probabilité que cette personne fasse ses achats sur Internet ? 0,5 pt

5a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, on a :

an+1 = 0,5an + 0,4. 0,5 pt

b. Recopier et compléter l’algorithme suivant afin qu’il affiche le plus petit entier naturel n non nul tel que an ≤ 0,801.

Variables :

 

Initialisation :

 

Traitement :

 

 

 

Sortie :

N est un entier naturel

A est un nombre réel

Affecter à N la valeur 1

Affecter à A la valeur 1

Tant que …

Affecter à A la valeur 0,5 × A + 0,4

Affecter à N la valeur…

Fin Tant que

Afficher N

0,5 pt

c. Quelle est la valeur affichée par l’algorithme en sortie ?  0,5 pt

Voir le corrigé

Cet article est réservé aux abonnés
ou aux acheteurs de livres ABC du Bac

Pour approfondir le thème...

Tle ES
Mathématiques
Algorithmique, Fonctions, Intégration, Probabilités
Spécifique
Nouvelle-Calédonie
Mars
2016
Bac
.icon_annales.png
La proportion de gauchers dans la population française est de 13 %.
gauchers | proportion | fluctuation asymptotique | fonction | fréquence
Tle ES
Mathématiques
Algorithmique, Arithmétique, Matrices
Spécialité
Polynésie
Septembre
2015
Bac
.icon_annales.png
L'objectif affiché par la municipalité est de réduire de moitié la présence des automobiles dans la zone ZTL, dans les deux ans à venir.
pollution | taxe | automobiles | proportion | graphe probabiliste
Tle ES
Mathématiques
Algorithmique, Suites
Spécifique
France métropolitaine
Juin
2016
Bac
.icon_annales.png
Un loueur de voitures dispose au 1er mars 2015 d'un total de 10 000 voitures pour l'Europe.
suite | algorithme | inéquation
Tle ES
Mathématiques
Algorithmique, Suites
Spécifique
Amérique du Nord
Juin
2016
Bac
.icon_annales.png
Une société propose un service d'abonnement pour jeux vidéo sur téléphone mobile.
algorithme | suite | inéquation
Tle ES
Mathématiques
Algorithmique, Probabilités, Suites
Spécialité
Amérique du Nord
Juin
2016
Bac
.icon_annales.png
Un groupe de presse édite un magazine qu'il propose en abonnement.
graphe probabiliste | algorithme | suite