Exercice

L’usage de la calculatrice est autorisé.

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O; i → , j → , k → ), on considère :

● le point A de coordonnées (– 4 ; 2 ; 1) ;

● la droite 𝒟₁ définie par le système d’équations paramétriques :

{ x=7+k y=6+k z=–3–k ,aveck∈ℝ ;

● la droite 𝒟₂ passant par le point A et de vecteur directeur u 2 → (1;0;2).

1 Donner les coordonnées d’un vecteur directeur u 1 → de la droite 𝒟₁.

2 Écrire un système d’équations paramétriques de la droite 𝒟₂. On notera t le paramètre.

3 Dans cette question on va montrer que les droites 𝒟₁ et 𝒟₂ ne sont pas coplanaires.

a. Justifier que les droites 𝒟₁ et 𝒟₂ ne sont pas parallèles.

b. Montrer que l’intersection des droites 𝒟₁ et 𝒟₂ est vide.

4 On considère le vecteur w → de coordonnées (– 2 ; 3 ; 1).

Montrer que w → est orthogonal à u 1 → et à u 2 →.

5 Soient B et C les points définis par AB → = w → et AC → = u 2 → et n → le vecteur de coordonnées (6 ; 5 ; – 3). On nomme 𝒫 le plan contenant les points A, B et C.

a. Montrer que n → est un vecteur normal au plan 𝒫.

b. 𝒫 a donc une équation cartésienne de la forme 6x + 5y – 3z + d = 0, où d désigne un réel.

Montrer que d = 17.

6 On nomme E le point d’intersection du plan 𝒫 et de la droite 𝒟₁.

Déterminer les coordonnées (x_E ; y_E ; z_E) du point E.

7 Soit Δ la droite passant par E et de vecteur directeur w →.

a. Quel est le point d’intersection des droites Δ et 𝒟₁ ?

b. Justifier que les droites Δ et 𝒟₁ sont perpendiculaires.

c. Justifier que la droite Δ est incluse dans le plan 𝒫.

d. En déduire que les droites Δ et 𝒟₂ sont perpendiculaires.

En conclusion, on a démontré que la droite Δ est une perpendiculaire commune aux droites 𝒟₁ et 𝒟₂.