Exercice

Les parties A et B sont indépendantes.

Un créateur d’entreprise a lancé un réseau d’agences de services à domicile. Depuis 2010, le nombre d’agences n’a fait qu’augmenter. Ainsi, l’entreprise, qui comptait 200 agences au 1^er janvier 2010, est passée à 300 agences au 1^er janvier 2012, puis à 500 agences au 1^er janvier 2014.

On admet que l’évolution du nombre d’agences peut être modélisée par une fonction f définie sur [0 ; + ∞[ par f (x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont trois nombres réels.

La variable x désigne le nombre d’années écoulées depuis 2010 et f (x) exprime le nombre d’agences en centaines. La valeur 0 de x correspond donc à l’année 2010.

Sur le dessin ci-dessous, on a représenté graphiquement la fonction f.

Partie A

On cherche à déterminer la valeur des coefficients a, b et c.

1 a. À partir des données de l’énoncé, écrire un système d’équations traduisant cette situation. 0,5 pt

b. En déduire que le système précédent est équivalent à :

MX = R avec M=( 0 0 1 4 2 1 16 4 1 ), X=( a b c ),

et R une matrice colonne que l’on précisera. 0,5 pt

2 On admet que :

M −1 =( 0,125 −0,25 0,125 −0,75 1 −0,25 1 0 0 ).

À l’aide de cette matrice, déterminer les valeurs des coefficients a, b et c, en détaillant les calculs. 1 pt

3 Suivant ce modèle, déterminer le nombre d’agences que l’entreprise possédera au 1^er janvier 2016. 0,5 pt

Partie B

Le responsable d’une agence de services à domicile implantée en ville a représenté par le graphe ci-dessous toutes les rues dans lesquelles se trouvent des clients qu’il doit visiter quotidiennement. Dans ce graphe, les arêtes sont les rues et les sommets sont les intersections des rues.

1 a. Déterminer si le graphe est connexe. 0,5 pt

b. Déterminer si le graphe est complet. 0,5 pt

Ce responsable voudrait effectuer un circuit qui passe une et une seule fois par chaque rue dans laquelle se trouvent des clients.

2 Déterminer si ce circuit existe dans les deux cas suivants :

a. le point d’arrivée est le même que le point de départ ; 1 pt

b. le point d’arrivée n’est pas le même que le point de départ. 0,5 pt