Exercice

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Un constructeur de planches de surf fabrique 3 modèles. La conception de chaque modèle nécessite le passage par 3 postes de travail. Le tableau 1 indique le nombre d’heures nécessaires par modèle et par poste pour réaliser les planches et le tableau 2 indique le coût horaire par poste de travail.

1 Soit H et C les deux matrices suivantes :

H=( 8 10 14 6 6 10 12 10 18 )   et   C=( 25 20 15 ).

a. Donner la matrice produit P = H × C. 0,5 pt

b. Que représentent les coefficients de la matrice P = H × C ? 0,75 pt

2 Après une étude de marché, le fabricant souhaite que les prix de revient par modèle soient les suivants :

Modèle 1 : 500 € ;          Modèle 2 : 350 € ;          Modèle 3 : 650 €.

Il cherche à déterminer les nouveaux coûts horaires par poste, notés a, b et c, permettant d’obtenir ces prix de revient.

a. Montrer que les réels a, b et c doivent être solutions du système :

H×( a b c )=( 500 350 650 ).
0,5 pt

b. Déterminer les réels a, b et c. 0,5 pt

Partie B

La façade du magasin dans lequel sont commercialisées les planches est illuminée par un très grand nombre de spots qui sont programmés de la manière suivante :

• les spots s’allument tous à 22 heures ;

• toutes les 10 secondes à partir de 22 heures, et ce de manière aléatoire, 30 % des spots allumés s’éteignent et 50 % de ceux qui sont éteints se rallument.

1 On note A l’état « le spot est allumé » et E l’état « le spot est éteint ».

a. Dessiner un graphe probabiliste traduisant la situation. 0,5 pt

b. Recopier et compléter la matrice de transition (dans l’ordre A, E) associée au graphe :

M=( … 0,3 0,5 … ).
0,5 pt

2 On note n le nombre d’étapes (c’est-à-dire d’intervalles de temps de 10 secondes) qui s’écoulent à partir de 22 heures et P_n = (a_n   b_n) l’état d’un spot à l’étape n, où a_n est la probabilité qu’il soit allumé et b_n la probabilité qu’il soit éteint.

On a alors, pour tout entier naturel n :

P_n + 1 = P_n × M.

0,75 pt

a. Justifier que a₀ = 1 et b₀ = 0. Écrire une relation entre P₀ et P_n. 0,5 pt

b. Déterminer les coefficients de la matrice P₃. Quelle est la probabilité que le spot considéré soit éteint à 22 heures et 30 secondes ?

3 Déterminer l’état stable (a   b) du graphe probabiliste. 0,5 pt