Exercice

On considère les nombres complexes z_n définis, pour tout entier naturel n, par :

z 0 =1et z n+1 =( 1+i 3 3 ) z n .

On note A_n le point d’affixe z_n dans le repère orthonormé (O, u → , v → ) ci-dessous.

L’objet de cet exercice est d’étudier la construction des points A_n.

1a. Vérifier que 1+i 3 3 = 2 3 e i π 6.

b. En déduire z₁ et z₂ sous forme exponentielle.

2a. Montrer que pour tout entier naturel n :

z n = ( 2 3 ) n e in π 6.

b. Pour quelles valeurs de n, les points O, A₀ et A_n sont-ils alignés ?

3 Pour tout entier naturel n, on pose d_n = |z_{n + 1} – z_n|.

a. Interpréter géométriquement d_n.

b. Calculer d₀.

c. Montrer que pour tout entier naturel n :

z n+2 – z n+1 =( 1+i 3 3 )( z n+1 – z n ).

d. En déduire que la suite (d_n)_n≥0 est géométrique, puis que, pour tout entier naturel n :

d n = 3 3 ( 2 3 ) n.

4a. Montrer que pour tout entier naturel n :

| z n+1 | 2 = | z n | 2 + d n 2.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, le triangle OA_nA_n+ 1 est rectangle en A_n.

c. Construire, à la règle non graduée et au compas, le point A₅ sur la figure ci-avant.

d. Justifier cette construction.