Exercice

Dans le cadre d’une étude sur les interactions sociales entre des souris, des chercheurs enferment des souris de laboratoire dans une cage comportant deux compartiments A et B. La porte entre ces compartiments est ouverte pendant dix minutes tous les jours à midi.

On étudie la répartition des souris dans les deux compartiments. On estime que chaque jour :

• 20 % des souris présentes dans le compartiment A avant l’ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment B après fermeture de la porte ;

• 10 % des souris qui étaient dans le compartiment B avant l’ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment A après fermeture de la porte.

On suppose qu’au départ, les deux compartiments A et B contiennent le même effectif de souris. On pose a₀ = 0,5 et b₀ = 0,5.

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note a_n et b_n les proportions de souris présentes respectivement dans les compartiments A et B au bout de n jours, après fermeture de la porte. On désigne par U_n la matrice ( a n b n ).

1 Soit n un entier naturel.

a. Justifier que U 1 =( 0,45 0,55 ).

b. Exprimer a_{n + 1} et b_{n + 1} en fonction de a_n et b_n.

c. En déduire que U_{n + 1} = MU_n, où M est une matrice que l’on précisera.

On admet sans démonstration que U_n = MⁿU₀.

d. Déterminer la répartition des souris dans les compartiments A et B au bout de 3 jours.

2 Soit la matrice P=( 11 2–1 ).

a. Calculer P². En déduire que P est inversible et P –1 = 1 3 P.

b. Vérifier que P^–1MP est une matrice diagonale D que l’on précisera.

c. Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 :

Mⁿ = PDⁿP^–1.

À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on obtient :

M n =( 1+2× 0,7 n 3 1–0 ,7 n 3 2–2× 0,7 n 3 2+ 0,7 n 3 ).

3 En s’aidant des questions précédentes, que peut-on dire de la répartition à long terme des souris dans les compartiments A et B de la cage ?