Exercice

Dans un pays, suite à une élection, un institut de sondage publie chaque mois la cote de popularité du président (c’est-à-dire le pourcentage de personnes ayant une opinion favorable à l’action qu’il mène). Ce sondage résulte d’une enquête réalisée auprès d’un échantillon de la population du pays.

Les enquêtes réalisées révèlent que d’un mois à l’autre :

• 6 % des personnes qui étaient favorables ne le sont plus ;

• 4 % des personnes qui n’étaient pas favorables le deviennent.

On interroge au hasard une personne dans la population du pays et on note :

• F₀ l’événement « la personne interrogée a une opinion favorable dès l’élection du président » de probabilité p₀ et F 0 ¯ son événement contraire ;

• F₁ l’événement « la personne interrogée le 1^er mois a une opinion favorable » de probabilité p_l et F 1 ¯ son événement contraire.

1 a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre.

b. Montrer que p_l = 0,9p₀ + 0,04.

Pour la suite de l’exercice, on donne p₀ = 0,55 et on note, pour tout entier naturel n, F_n l’événement « la personne interrogée le n-ième mois a une opinion favorable » et p_n sa probabilité.

On admet de plus, que pour tout entier naturel n, p_n + l = 0,9p_n + 0,04.

2 On considère l’algorithme suivant :

a. Écrire ce qu’affiche cet algorithme lorsque l’utilisateur entre la valeur N = l.

b. Donner le rôle de cet algorithme.

3 On considère la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par :

u_n = p_n – 0,4.

a. Démontrer que la suite (u_n) est une suite géométrique de raison 0,9 et préciser la valeur de son premier terme u₀.

b. En déduire l’expression de u_n en fonction de n, puis l’expression de p_n en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite (p_n) et interpréter le résultat.

4 a. Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation :

0,15 × 0,9ⁿ + 0,4 ≤ 0,45.

b. Interpréter le résultat trouvé.