Exercice

On note E l’ensemble des vingt-sept nombres entiers compris entre 0 et 26.

On note A l’ensemble dont les éléments sont les vingt-six lettres de l’alphabet et un séparateur entre deux mots, noté « * », considéré comme un caractère.

Pour coder les éléments de A, on procède de la façon suivante :

• Premièrement : on associe à chacune des lettres de l’alphabet, rangées par ordre alphabétique, un nombre entier naturel compris entre 0 et 25, rangés par ordre croissant. On a donc a → 0, b → 1… z → 25.

On associe au séparateur « * » le nombre 26.

On dit que a a pour rang 0, b a pour rang 1, …, z a pour rang 25 et le séparateur « * » a pour rang 26.

• Deuxièmement : à chaque élément x de E, l’application g associe le reste de la division euclidienne de 4x + 3 par 27.

On remarquera que pour tout x de E, g(x) appartient à E.

• Troisièmement : le caractère initial est alors remplacé par le caractère de rang g(x).

Exemple

s → 18, g(18) = 21 et 21 → v. Donc la lettre s est remplacée lors du codage par la lettre v.

1 Trouver tous les entiers x de E tels que g(x) = x, c’est-à-dire invariants par g.

En déduire les caractères invariants dans ce codage.

2 Démontrer que, pour tout entier naturel x appartenant à E et tout entier naturel y appartenant à E :

si y ≡ 4x + 3 modulo 27, alors x ≡ 7y + 6 modulo 27.

En déduire que deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts.

3 Proposer une méthode de décodage.

4 Décoder le mot « v f v ».