6Fonction rationnelle, Suite, Algorithme1 heure
Nouvelle-Calédonie, novembre 2014
Fonctions
Suites
Algorithmique
Exercice
5 ptsOn considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; + ∞[ par :
.
On admettra que f est dérivable sur l’intervalle [0 ; + ∞[.
On a tracé ci-après dans un repère orthonormé la courbe 𝒞 représentative de f ainsi que la droite 𝒟 d’équation y = x.
1 Démontrer que f est croissante sur l’intervalle [0 ; + ∞[.
2 Résoudre l’équation f (x) = x sur l’intervalle [0 ; + ∞[. On note α la solution. On donnera la valeur exacte de α, puis on en donnera une valeur approchée à 10 – 2 près.
3 On considère la suite (un) définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n :
un + 1 = f (un).
Sur la figure ci-avant, en utilisant la courbe 𝒞 et la droite 𝒟, placer les points M0, M1 et M2 d’ordonnées nulles et d’abscisses respectives u0, u1 et u2. Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite (un) ?
4 a. Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel n :
0 ≤ un ≤ un + 1 ≤ α
où α est le réel défini dans la question 2.
b. Peut-on affirmer que la suite (un) est convergente ? On justifiera la réponse.
5 Pour tout entier naturel n, on définit la suite (Sn) par :
.
a. Calculer S0, S1 et S2. Donner une valeur approchée des résultats à 10– 2 près.
b. Compléter l’algorithme donné ci-après pour qu’il affiche la somme Sn pour la valeur de l’entier n demandée à l’utilisateur.
c. Montrer que la suite (Sn) diverge vers + ∞.
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