Exercice

On donne les matrices M=( 111 1–11 421 )etI=( 100 010 001 ) .

PARTIE A

1  Déterminer la matrice M². On donne M 3 =( 201011 1229 422021 ) . 0,5 pt

2  Vérifier que M³ = M² + 8M + 6I. 0,5 pt

3  En déduire que M est inversible et que M –1 = 1 6 ( M 2 –M–8I). 0,5 pt

PARTIE B Étude d’un cas particulier

On cherche à déterminer trois nombres entiers a, b et c tels que la parabole d’équation y = ax² + bx + c passe par les points A(1 ; 1), B(– 1 ; – 1) et C(2 ; 5).

1  Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers a, b et c tels que :

M( a b c )=( 1 –1 5 ) 0,5 pt

2  Calculer les nombres a, b et c et vérifier que ces nombres sont des entiers. 0,5 pt

PARTIE C Retour au cas général

Les nombres a, b, c, p, q, r sont des entiers.

Dans un repère (O; i → , j → ), on considère les points A(1 ; p), B(– 1 ; q) et C(2 ; r).

On cherche des valeurs de p, q et r pour qu’il existe une parabole d’équation y = ax² + bx + c passant par A, B et C.

1  Démontrer que si ( a b c )= M –1 ( p q r ), avec a, b et c entiers, alors :

{ –3p+q+2r≡0[ 6 ] 3p–3q≡0[ 6 ] 6p+2q–2r≡0[ 6 ]

0,5 pt

2  En déduire que { q–r≡0[ 3 ] p–q≡0[ 2 ]

0,5 pt

3 Réciproquement, on admet que si { q–r≡0[3] p–q≡0[2] A,B,Cnesontpasalignés, alors il existe trois entiers a, b et c tels que la parabole d’équation y = ax² + bx + c passe par les points A, B et C.

a. Montrer que les points A, B et C sont alignés si et seulement si :

2r + q – 3p = 0. 0,75 pt

b. On choisit p = 7. Déterminer des entiers q, r, a, b et c tels que la parabole d’équation y = ax² + bx + c passe par les points A, B et C. 0,75 pt