Exercice

Un fumeur décide d’arrêter de fumer. On choisit d’utiliser la modélisation suivante :

• s’il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9 ;

• s’il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6.

On appelle p_n la probabilité de ne pas fumer le n-ième jour après sa décision d’arrêter de fumer et q_n la probabilité de fumer le n-ième jour après sa décision d’arrêter de fumer.

On suppose que p₀ = 0 et q₀ = 1.

1 Calculer p₁ et q₁. 0,5 pt

2 On utilise un tableur pour automatiser le calcul des termes successifs des suites (p_n) et (q_n). Une copie d’écran de cette feuille de calcul est fournie ci-dessous :

Dans la colonne A figurent les valeurs de l’entier naturel n.

Quelles formules peut-on écrire dans les cellules B3 et C3 de façon qu’en les recopiant vers le bas, on obtienne respectivement dans les colonnes B et C les termes successifs des suites (p_n) et (q_n) ? 1 pt

3 On définit les matrices M et, pour tout entier naturel n, X_n par :

M=( 0,90,4 0,10,6 )et X n =( p n q n ).

On admet que X_n + 1 = M × X_n et que, pour tout entier naturel n, X_n = Mⁿ × X₀.

On définit les matrices A et B par A=( 0,80,8 0,20,2 )etB=( 0,2–0,8 –0,20,8 ).

a. Démontrer que M = A + 0,5B. 0,5 pt

b. Vérifier que A² = A, et que A×B=B×A=( 00 00 ). 0,75 pt

On admet dans la suite que, pour tout entier naturel n strictement positif,

Aⁿ = A et Bⁿ = B.

c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, Mⁿ = A + 0,5ⁿB. 0,75 pt

d. En déduire que, pour tout entier naturel n, p_n = 0,8 – 0,8 × 0,5ⁿ. 0,75 pt

e. À long terme, peut-on affirmer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer ? 0,75 pt