Exercice

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.

On considère l’équation :

(E) z 2 –2z 3 +4=0

1 Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble ℂ des nombres complexes.

2 On considère la suite (M_n ) des points d’affixes z n = 2 n e i(–1) n π 6, définies pour n ≥ 1.

a. Vérifier que z₁ est une solution de (E).

b. Écrire z₂ et z₃ sous forme algébrique.

c. Placer les points M₁, M₂, M₃ et M₄ sur la figure ci-après et tracer, sur la figure ci-après les segments [M₁ M₂], [M₂ M₃] et [M₃ M₄].

3 Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, z n = 2 n ( 3 2 + (–1) n i 2 ).

4 Calculer les longueurs M₁M₂ et M₂M₃.

Pour la suite de l’exercice, on admet que, pour tout entier n ≥ 1 :

M n M n+1 = 2 n 3 .

5 On note ℓ_n = M₁M₂ + M₂M₃ + … + M_nM_n + 1.

a. Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, l n =2 3 ( 2 n –1).

b. Déterminer le plus petit entier n tel que ℓ_n ≥ 1 000.