Exercice

Dans cet exercice, a et b désignent des nombres entiers strictement positifs.

1 a. Démontrer que, si il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1, alors les nombres a et b sont premiers entre eux.

b. En déduire que si (a² + ab – b²)² = 1, alors les nombres a et b sont premiers entre eux.

2 On se propose de déterminer les couples de nombres entiers strictement positifs (a ; b) tels que (a² + ab – b²)² = 1. Un tel couple sera appelé solution.

a. Déterminer a lorsque b = a.

b. Vérifier que (1 ; 1), (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particulières.

c. Montrer que si (a ; b) est solution et si a ≠ b, alors a² – b² < 0.

3 a. Montrer que si (x ; y) est une solution particulière différente de (1 ; 1), alors (y – x ; x) et (y ; y + x) sont deux autres solutions.

b. Déduire de 2 b. trois nouvelles solutions.

4 On considère la suite de nombres entiers strictement positifs (a_n)_{n ∈ ℕ} définie par a₀ = a₁ = 1 et pour tout entier n, n ≥ 0 :

a_n + 2 = a_n + 1 + a_n.

Démontrer que pour tout entier n, (a_n ; a_n + 1) est solution. En déduire que les nombres a_n et a_n + 1 sont premiers entre eux.