Exercice

Calculatrice autorisée

Le rugby est un sport d’équipe qui s’est développé dans les pays anglo-saxons à la fin du xix^e siècle.
Pour simplifier l’étude, les joueurs et le ballon seront supposés ponctuels.

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I Le rugby, sport de contact

Un joueur A de masse m_A = 115 kg et animé d’une vitesse v_A = 5,0 m·s^–1 est plaqué par un joueur B de masse m_B = 110 kg de vitesse négligeable.

1 Dans quel référentiel les vitesses sont-elles définies ? 0,25 pt

2 On suppose que l’ensemble des deux joueurs est un système isolé.

Exprimer, en justifiant le raisonnement, la vitesse des deux joueurs liés après l’impact, puis calculer sa valeur. 1,25 pt

Partie II Le rugby, sport d’évitement

On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
Le champ de pesanteur terrestre est considéré uniforme, de valeur g = 9,81 N·kg^-1.
On négligera toutes les actions dues à l’air.
Le joueur A est animé d’un mouvement rectiligne uniforme de vecteur vitesse v → 1.
Afin d’éviter un plaquage, il réalise une chandelle au-dessus de son adversaire.

On définit un repère (O; i →, j →) :

● origine : position initiale du ballon ;

● vecteur unitaire i → de même direction et de même sens que v → 1 ;

● vecteur unitaire j → vertical et vers le haut.

À l’instant t = 0 s, le vecteur vitesse du ballon fait un angle α égal à 60° avec l’axe Ox et sa valeur est v₀ = 10,0 m·s^-1.

Le graphique ci-dessous représente la trajectoire du ballon dans le repère choisi.

1 Étude du mouvement du ballon

a. Établir les coordonnées a_x et a_y du vecteur accélération du point M représentant le ballon. 1 pt

b. Montrer que les équations horaires du mouvement du point M sont :

x(t)=( v 0 cosα)t et y(t)=– 1 2 g t 2 +( v 0 sinα)t

1 pt

c. En déduire l’équation de la trajectoire du point M :

y(x)=– g 2 ( v 0 cosα) 2 x 2 +(tanα)x

0,25 pt

d. Le tableau ci-après (à rendre avec la copie) rassemble les représentations graphiques de l’évolution dans le temps des grandeurs x, y, v_x et v_y, coordonnées des vecteurs position et vitesse du point M.

Tableau rassemblant les représentations graphiques de l’évolution dans le temps des grandeurs x, y, v_x et v_y.

Équation : Justification :	Équation : Justification :
Équation : Justification :	Équation : Justification :

Dans le tableau ci-avant (à rendre avec la copie), écrire sous chaque courbe l’expression de la grandeur qui lui correspond et justifier. 2 pts

2 Une « chandelle » réussie

a. Déterminer par le calcul le temps dont dispose le joueur pour récupérer le ballon avant que celui-ci ne touche le sol.

Vérifier la valeur obtenue en faisant clairement apparaître la réponse sur l’un des graphes du tableau ci-avant (à rendre avec la copie). 1,25 pt

b. Déterminer de deux manières différentes la valeur de la vitesse v₁ du joueur pour que la chandelle soit réussie. 1 pt