Exercice

On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée ABCD et de triangles équilatéraux représentée ci-dessous.

Le point O est le centre de la base ABCD avec OB = 1.

On rappelle que le segment [SO] est la hauteur de la pyramide et que toutes les arêtes ont la même longueur.

1 Justifier que le repère (O; OB → , OC → , OS → ) est orthonormé. 0,75 pt

Dans la suite de l’exercice, on se place dans le repère (O; OB → , OC → , OS → ).

2 On définit le point K par la relation SK → = 1 3 SD → et on note I le milieu du segment [SO].

a. Déterminer les coordonnées du point K. 0,5 pt

b. En déduire que les points B, I et K sont alignés. 0,5 pt

c. On note L le point d’intersection de l’arête [SA] avec le plan (BCI).

Justifier que les droites (AD) et (KL) sont parallèles. 0,75 pt

d. Déterminer les coordonnées du point L. 0,5 pt

3 On considère le vecteur n → ( 1 1 2 ) dans le repère (O; OB → , OC → , OS → ).

a. Montrer que n → est un vecteur normal au plan (BCI). 0,5 pt

b. Montrer que les vecteurs n →, AS → et DS → sont coplanaires. 0,75 pt

c. Quelle est la position relative des plans (BCI) et (SAD) ? 0,75 pt