Exercice

On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au départ, l’urne U contient deux boules blanches et l’urne V contient deux boules noires.

On effectue des tirages successifs dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à prendre au hasard, de manière simultanée, une boule dans chaque urne et à la mettre dans l’autre urne.

Pour tout entier naturel n non nul, on note X_n la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient l’urne U à la fin du n-ième tirage.

1a. Traduire par une phrase la probabilité P ( X n =0) ( X n+1 =1), puis déterminer les probabilités conditionnelles suivantes :

P ( X n =0) ( X n+1 =1), P ( X n =1) ( X n+1 =1)et P ( X n =2) ( X n+1 =1). 0,75 pt

b. Exprimer P(X_n+1 = 1) en fonction P(X_n = 0), P(X_n = 1) et P(X_n = 2). 0,75 pt

2 Pour tout entier naturel n non nul, on note R_n la matrice ligne définie par :

R_n = (P(X_n = 0)  P(X_n = 1)  P(X_n = 2))

et on considère la matrice M ( 0 1 0 1 4 1 2 1 4 0 1 0 ).

On note R₀ la matrice ligne (0 0 1).

On admettra par la suite que, pour tout entier naturel n :

R_n+1 = R_n × M.

Déterminer R₁ et justifier que, pour tout entier naturel n :

R_n = R₀ × Mⁿ. 0,75 pt

3 On admet que M = P × D × P^–1 avec :

P= 1 6 ( 2 3 1 –1 0 1 2 –3 1 ),D=( – 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 )et P –1 =( 1 –2 1 1 0 –1 1 4 1 ).

Établir que, pour tout entier naturel n, Mⁿ = P × Dⁿ × P^– 1.

On admettra que, pour tout entier naturel n, D n =( ( – 1 2 ) n 0 0 0 0 0 0 0 1 ). 0,75 pt

4a. Calculer Dⁿ × P^–1 en fonction de n. 0,5 pt

b. Sachant que R 0 P=( 1 3 – 1 2 1 6 ), déterminer les coefficients de R_n en fonction de n. 0,75 pt

5 Déterminer lim n→+∞ P( X n =0), lim n→+∞ P( X n =1) et lim n→+∞ P( X n =2).

Interpréter ces résultats. 0,75 pt