Exercice

On considère la suite (z_n) de nombres complexes définie pour tout entier naturel n par :

{ z 0 =0 z n+1 = 1 2 i× z n +5

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note M_n le point d’affixe z_n.

On considère le nombre complexe z_A = 4 + 2i et A le point du plan d’affixe z_A.

1 Soit (u_n) la suite définie pour tout entier naturel n par u_n = z_n – z_A.

a. Montrer que, pour tout entier naturel n, u n+1 = 1 2 i× u n . 1 pt

b. Démontrer que, pour tout entier naturel n :

u n = ( 1 2 i ) n (–4–2i). 1 pt

2 Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points A, M_n et M_{n + 4} sont alignés. 1 pt