Exercice

L’usage de la calculatrice est autorisé.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O; u → , v → ).

Soient A, B et C les points d’affixes respectives :

z_A = 1, z_B = 1 + i et z_C = i.

Soit x un réel appartenant à ]0, 1[.

On nomme :

● M le point du segment [AB] d’affixe z_M = 1 + xi :

● N le point du segment [BC] d’affixe z_N = x + i.

Posons Z= z N z M.

Partie A

1 Sur la figure, le point M a été placé pour une certaine valeur du réel x.

Tracer le carré OABC et le triangle OMN.

2 Exprimer, en fonction de x, les modules |z_M| et |z_N|.

3 Le triangle OMN est isocèle. Donner son sommet principal. Justifier la réponse.

4a. Montrer que la droite (OB) est perpendiculaire à la droite (MN).

b. En déduire que la droite (OB) est la bissectrice de l’angle MON ^.

5 Justifier que |Z| = 1.

6 Montrer que la forme algébrique de Z est :

Z= 2x 1+ x 2 +i 1– x 2 1+ x 2 .

7 Im(Z) désigne la partie imaginaire de Z. Montrer que Im(Z) > 0.

Partie B

Dans cette partie x=2– 3.

1 Donner la valeur exacte de 1 + x².

2a. Re(Z) désigne la partie réelle de Z. Montrer que Re(Z)= 1 2.

b. On nomme θ un argument de Z.

En déduire, en utilisant certains résultats de la partie A, la valeur exacte de θ.

On admet que ( OM → , ON → )=θ(2π).

3a. En utilisant la question 4b., donner une mesure de l’angle ( OM → , OB → ).

b. Montrer que ( u → , OM → )= π 12 (2π).

4a. Justifier que 1+ x 2 = ( 6 – 2 ) 2.

b. En déduire la valeur exacte de |z_M|.

5 Écrire la forme trigonométrique de z_M.

6 On en déduit que cos( π 12 )= a 6 – 2 et sin( π 12 )= b 6 – 2, où a et b sont des réels.

Donner les valeurs exactes de a et b.