Exercice

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O; u → , v → ) (unité graphique 2 cm). On considère les points A, B et C d’affixes respectives :

z A =i, z B =2i,et z C =1.

On considère la transformation f qui, à tout point M du plan d’affixe z, distinct de A, associe le point M′ d’affixe :

z ′ = 2iz z–i .

On fera une figure que l’on complétera au fur et à mesure.

1 Déterminer l’ensemble des points invariants par la transformation f.

2 Déterminer, sous forme algébrique, les affixes des points B′ et C′, images respectives des points B et C par f.

3 a. Montrer que, pour tout point M distinct de A, l’affixe z′ de M′ vérifie l’égalité :

z ′ –2i= –2 z–i .

b. En déduire que si le point M appartient au cercle Γ de centre A et de rayon 1, alors son image M′ appartient à un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

c. Exprimer une mesure de l’angle ( u → , BM ′ → ) en fonction d’une mesure de l’angle ( u → , AM → ).

d. On considère le point D d’affixe z D = 3 2 + 3 2 i. Vérifier que D appartient au cercle Γ.

Construire, à la règle et au compas, le point D et son image D′ par f.

4 On note G le point du plan tel que :

GO → + GB → + GC → = 0 → .

a. Déterminer l’affixe du point G.

b. On admet que l’image G′ du point G a pour affixe z_G′ = – 3 – i. Montrer que BG ′ → =3 BC ′ →.