Exercice

Dans cet exercice, on s’intéresse aux triplets d’entiers naturels non nuls (x, y, z) tels que x² + y² = z². Ces triplets seront nommés « triplets pythagoriciens » en référence aux triangles rectangles dont ils mesurent les côtés, et notés en abrégé « TP ».

Ainsi (3, 4, 5) est un TP car 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².

Partie A Généralités

1 Démontrer que, si (x, y, z) est un TP, et p un entier naturel non nul, alors le triplet (px, py, pz) est lui aussi un TP. 0,5 pt

2 Démontrer que, si (x, y, z) est un TP, alors les entiers naturels x, y et z ne peuvent pas être tous les trois impairs. 0,5 pt

3 Pour cette question, on admet que tout entier naturel non nul n peut s’écrire d’une façon unique sous la forme du produit d’une puissance de 2 par un entier impair : n = 2^α × k, où α est un entier naturel (éventuellement nul) et k un entier naturel impair.

L’écriture n = 2^α × k est nommée décomposition de n.

Voici par exemple les décompositions des entiers 9 et 120 :

9 = 2⁰ × 9, 120 = 2³ × 15.

a. Donner la décomposition de l’entier 192. 0,5 pt

b. Soient x et z deux entiers naturels non nuls, dont les décompositions sont :

x = 2^α × k et z = 2^β × m.

Écrire la décomposition des entiers naturels 2x² et z². 0,5 pt

c. En examinant l’exposant de 2 dans la décomposition de 2x² et dans celle de z², montrer qu’il n’existe pas de couple d’entiers naturels non nuls (x, z) tels que 2x² = z². 0,75 pt

On admet que la question A 3 permet d’établir que les trois entiers naturels x, y et z sont deux à deux distincts. Comme, de plus, les entiers naturels x, y jouent un rôle symétrique, dans la suite, pour tout TP (x, y, z), les trois entiers naturels x, y et z seront rangés dans l’ordre suivant :

x < y < z.

Partie B Recherche de triplets pythagoriciens contenant l’entier 2 015

1 Décomposer en produit de facteurs premiers l’entier 2 015, puis, en utilisant le TP donné dans le préambule, déterminer un TP de la forme (x, y, 2 015). 0,5 pt

2 On admet que, pour tout entier naturel n :

(2n + 1)² + (2n² + 2n)² = (2n² + 2n + 1)².

Déterminer un TP de la forme (2 015, y, z). 0,5 pt

3 a. En remarquant que 403² = 169 × 961, déterminer un couple d’entiers naturels non nuls (x, z) tels que z² – x² = 403², avec x < 403. 0,5 pt

b. En déduire un TP de la forme (x, 2 015, z). 0,75 pt