Exercice

L’objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier.

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O, u → , v → ), on considère le pentagone régulier A₀A₁A₂A₃A₄, de centre O tel que OA 0 → = u →.

On rappelle que dans le pentagone régulier A₀A₁A₂A₃A₄, ci-dessus :

● les cinq côtés sont de même longueur ;

● les points A₀, A₁, A₂, A₃ et A₄ appartiennent au cercle trigonométrique ;

● pour tout entier k appartenant à {0 ; 1 ; 2 ; 3}, on a :

( OA k → ; OA k+1 → )= 2π 5.

1 On considère les points B d’affixe – 1 et J d’affixe i 2.

Le cercle (𝒞) de centre J et de rayon 1 2 coupe le segment [BJ] en un point K.

Calculer BJ, puis en déduire BK. 0,5 pt

2a. Donner sous forme exponentielle l’affixe du point A₂. Justifier brièvement. 0,5 pt

b. Démontrer que BA 2 2 =2+2cos( 4π 5 ). 0,5 pt

c. Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l’on pourra utiliser sans justification :

En déduire, grâce à ces résultats, que BA₂ = BK. 0,5 pt

3 Dans le repère (O, u → , v → ) donné ci-dessous, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N’utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction. 1 pt