Exercice

Dans un repère orthonormé (O, I, J, K) d’unité 1 cm, on considère les points :

A(0 ; – 1 ; 5), B(2 ; – 1 ; 5), C(11 ; 0 ; 1), D(11 ; 4 ; 4).

Un point M se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1 cm par seconde.

Un point N se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1 cm par seconde.

À l’instant t = 0, le point M est en A et le point N est en C.

On note M_t et N_t les positions des points M et N au bout de t secondes, t désignant un nombre réel positif.

On admet que M_t et N_t ont pour coordonnées :

M_t(t ; – 1 ; 5) et N_t(11 ; 0,8t ; 1 + 0,6t).

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1
a. La droite (AB) est parallèle à l’un des axes (OI), (OJ) ou (OK). Lequel ? 0,5 pt

b. La droite (CD) se trouve dans un plan 𝒫 parallèle à l’un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK). Lequel ? On donnera une équation de ce plan 𝒫. 0,5 pt

c. Vérifier que la droite (AB), orthogonale au plan 𝒫, coupe ce plan au point E (11 ; – 1 ; 5). 0,5 pt

d. Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ? 0,5 pt

2
a. Montrer que M t N t 2 =2 t 2 –25,2t+138. 0,5 pt

b. À quel instant t la longueur M_tN_t est-elle minimale ? 0,5 pt