Sujet 2Matrice, Arithmétique1 heure
Amérique du Nord, juin 2015
Matrices
Arithmétique
Exercice
5 ptsOn donne les matrices M = (1 1 11 – 1 14 2 1) et I = (1 0 00 1 00 0 1) .
PARTIE A
1 Déterminer la matrice M2. On donne M3 = (20 10 1112 2 942 20 21) . 0,5 pt
2 Vérifier que M3 = M2 + 8M + 6I. 0,5 pt
3 En déduire que M est inversible et que M– 1 = 16(M2 – M – 8I). 0,5 pt
PARTIE B Étude d’un cas particulier
On cherche à déterminer trois nombres entiers a, b et c tels que la parabole d’équation y = ax2 + bx + c passe par les points A(1 ; 1), B(– 1 ; – 1) et C(2 ; 5).
1 Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers a, b et c tels que :
M(abc) = (1– 15) 0,5 pt
2 Calculer les nombres a, b et c et vérifier que ces nombres sont des entiers. 0,5 pt
PARTIE C Retour au cas général
Les nombres a, b, c, p, q, r sont des entiers.
Dans un repère (O ; →i, →j), on considère les points A(1 ; p), B(– 1 ; q) et C(2 ; r).
On cherche des valeurs de p, q et r pour qu’il existe une parabole d’équation y = ax2 + bx + c passant par A, B et C.
1 Démontrer que si (abc) = M– 1(pqr), avec a, b et c entiers, alors :
{– 3p + q + 2r ≡ 0 [6]3p – 3q ≡ 0 [6]6p + 2q – 2r ≡ 0 [6]
0,5 pt
2 En déduire que {q – r ≡ 0 [3]p – q ≡ 0 [2]
0,5 pt
3 Réciproquement, on admet que si {q – r ≡ 0 [3]p – q ≡ 0 [2]A, B, C ne sont pas alignés, alors il existe trois entiers a, b et c tels que la parabole d’équation y = ax2 + bx + c passe par les points A, B et C.
a. Montrer que les points A, B et C sont alignés si et seulement si :
2r + q – 3p = 0. 0,75 pt
b. On choisit p = 7. Déterminer des entiers q, r, a, b et c tels que la parabole d’équation y = ax2 + bx + c passe par les points A, B et C. 0,75 pt
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