Amérique du Nord
Juin
2015
Bac
Spécialité
Tle
Mathématiques
Matrice, arithmétique
Arithmétique
Matrices
.icon_annales.png On donne les matrices M et I.

Sujet 2Matrice, Arithmétique1 heure

Amérique du Nord, juin 2015

Enseignement de spécialité

Matrices

Arithmétique

Exercice

5 pts

On donne les matrices M=(111111421)etI=(100010001) .

PARTIE A

1  Déterminer la matrice M2. On donne M3=(2010111229422021) . 0,5 pt

2  Vérifier que M3 = M2 + 8M + 6I. 0,5 pt

3  En déduire que M est inversible et que M1=16(M2M8I). 0,5 pt

PARTIE B Étude d’un cas particulier

On cherche à déterminer trois nombres entiers a, b et c tels que la parabole d’équation yax2bxc passe par les points A(1 ; 1), B(– 1 ; – 1) et C(2 ; 5).

1  Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers a, b et c tels que :

M(abc)=(115) 0,5 pt

2  Calculer les nombres a, b et c et vérifier que ces nombres sont des entiers. 0,5 pt

PARTIE C Retour au cas général

Les nombres a, b, c, p, q, r sont des entiers.

Dans un repère (O;i,j), on considère les points A(1 ; p), B(– 1 ; q) et C(2 ; r).

On cherche des valeurs de p, q et r pour qu’il existe une parabole d’équation yax2bxc passant par A, B et C.

1  Démontrer que si (abc)=M1(pqr), avec a, b et c entiers, alors :

{3p+q+2r0[6]3p3q0[6]6p+2q2r0[6]

0,5 pt

2  En déduire que {qr0[3]pq0[2]

0,5 pt

3 Réciproquement, on admet que si {qr0[3]pq0[2]A,B,Cnesontpasalignés, alors il existe trois entiers a, b et c tels que la parabole d’équation yax2bxc passe par les points A, B et C.

a. Montrer que les points A, B et C sont alignés si et seulement si :

2rq – 3p = 0. 0,75 pt

b. On choisit p = 7. Déterminer des entiers q, r, a, b et c tels que la parabole d’équation yax2bxc passe par les points A, B et C. 0,75 pt

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