Exercice

Partie A

On appelle ℂ l’ensemble des nombres complexes.

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé (O; u → , v → ), on a placé un point M d’affixe z appartenant à ℂ, puis le point R intersection du cercle de centre O passant par M et du demi-axe [O; u → ).

1 Exprimer l’affixe du point R en fonction de z. 0,5 pt

2 Soit le point M′ d’affixe z′ définie par :

z ′ = 1 2 ( z+| z | 2 ).

Reproduire la figure sur la copie et construire le point M′. 0,5 pt

Partie B

On définit la suite de nombres complexes (z_n) par un premier terme z₀ appartenant à ℂ et, pour tout entier naturel n, par la relation de récurrence :

z n+1 = z n +| z n | 4.

Le but de cette partie est d’étudier si le comportement à l’infini de la suite (| z_n |) dépend du choix de z₀.

1 Que peut-on dire du comportement à l’infini de la suite (| z_n |) quand z₀ est un nombre réel négatif ? 0,75 pt

2 Que peut-on dire du comportement à l’infini de la suite (| z_n |) quand z₀ est un nombre réel positif ? 0,75 pt

3 On suppose désormais que z₀ n’est pas un nombre réel.

a. Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l’infini de la suite (| z_n |) ? 0,75 pt

b. Démontrer cette conjecture, puis conclure. 0,75 pt