Exercice

Pour tout couple d’entiers relatifs non nuls (a, b), on note PGCD(a, b) le plus grand diviseur commun de a et b.

Le plan est muni d’un repère (O; i → , j → ).

1 Exemple. Soit Δ₁ la droite d’équation y= 5 4 x– 2 3.

a. Montrer que si (x, y) est un couple d’entiers relatifs, alors l’entier 15x – 12y est divisible par 3. 0,5 pt

b. Existe-t-il au moins un point de la droite Δ₁ dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier. 0,5 pt

Généralisation

On considère désormais une droite Δ d’équation (E) y= m n x– p q où m, n, p et q sont des entiers relatifs non nuls tels que :

PGCD(m, n) = PGCD(p, q) = 1.

Ainsi, les coefficients de l’équation (E) sont des fractions irréductibles et on dit que Δ est une droite rationnelle.

Le but de l’exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur m, n, p et q pour qu’une droite rationnelle Δ comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs.

2 On suppose ici que la droite Δ comporte un point de coordonnées (x₀, y₀), où x₀ et y₀ sont des entiers relatifs.

a. En remarquant que le nombre n y₀ – m x₀ est un entier relatif, démontrer que q divise le produit np. 0,5 pt

b. En déduire que q divise n. 0,5 pt

3 Réciproquement, on suppose que q divise n, et on souhaite trouver un couple (x₀, y₀) d’entiers relatifs tels que :

y 0 = m n x 0 – p q.

a. On pose n = qr, où r est un entier relatif non nul. Démontrer qu’on peut trouver deux entiers relatifs u et v tels que qru – mv = 1. 0,5 pt

b. En déduire qu’il existe un couple (x₀, y₀) d’entiers relatifs tels que :

y 0 = m n x 0 – p q. 0,5 pt

4 Soit Δ la droite d’équation y= 3 8 x– 7 4. Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ? Justifier. 0,75 pt

5 On donne l’algorithme suivant :

a. Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de M, N, P, Q, entiers relatifs non nuls tels que PGCD(M, N) = PGCD(P, Q) = 1. 0,75 pt

b. Que permet-il d’obtenir ? 0,5 pt