Exercice

Pour jouer sur internet à un certain jeu, la souscription d’un abonnement annuel est obligatoire. À partir d’un sondage, on prévoit que :

• 80 % des abonnés renouvellent chaque année leur abonnement ;

• le nombre de nouveaux abonnés sera de 20 000 tous les ans.

1 Au premier janvier 2012, on comptait 50 000 abonnés à ce jeu en ligne.

Selon ce modèle, justifier qu’au premier janvier 2013, le nombre d’abonnés sera égal à 60 000.

2 a. Justifier que le nombre d’abonnés au premier janvier de l’année 2012 + n est modélisé par la suite ( a n ) définie par :

{ a 0 = 50000 a n+1 = 0,8 a n +20000 pour tout entier naturel n

b. Calculer a₂ et a₃.

c. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans le plan muni d’un repère orthonormal les droites D d’équation y = x et Δ d’équation y = 0,8 x+ 20 000.

Sur l’axe des abscisses, représenter a₀ puis construire a₁, a₂, a₃, a₄ en utilisant les représentations graphiques des deux droites précédentes.

Laisser apparents les traits de construction.

d. En s’appuyant sur une observation graphique, émettre une conjecture sur la limite de la suite ( a n ).

3 On admet que pour tout nombre entier naturel n,

a_n = 100 000 - 50 000 × 0,8ⁿ.

a. Déterminer la limite de la suite ( a n ).

b. Toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

En utilisant ce modèle, donner une estimation de l’année à partir de laquelle, au premier janvier, le nombre d’abonnés à ce jeu sera supérieur à 95 000.