Conforme au programme
Amérique du Nord
Juin
2016
Bac
Spécialité
Tle ES
Mathématiques
Comparaison d'algorithme
Algorithmique
Probabilités
Suites
.icon_annales.png Un groupe de presse édite un magazine qu'il propose en abonnement.

Sujet 2Comparaison d’algorithme45 min

Amérique du Nord, juin 2016

ES – Enseignement de spécialité

Probabilités
Algorithmique
Suites

Exercice

5 pts

Un groupe de presse édite un magazine qu’il propose en abonnement.

Jusqu’en 2010, ce magazine était proposé uniquement sous forme papier. Depuis 2011, les abonnés du magazine ont le choix entre la version numérique et la version papier.

Une étude a montré que, chaque année, certains abonnés changent d’avis : 10 % des abonnés à la version papier passent à la version numérique et 6 % des abonnés à la version numérique passent à la version papier.

On admet que le nombre global d’abonnés reste constant dans le temps.

Pour tout nombre entier naturel n, on note :

 an la probabilité qu’un abonné pris au hasard ait choisi la version papier l’année 2010 + n ;

 bn la probabilité qu’un abonné pris au hasard ait choisi la version numérique l’année 2010 + n ;

 Pn = (an   bn) la matrice correspondant à l’état probabiliste de l’année 2010 + n.

On a donc a0 = 1, b0 = 1 et P0 = (1   0).

1 a. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B, où le sommet A représente l’état « abonné à la version papier » et B l’état « abonné à la version numérique ». 0,5 pt

b. Déterminer la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre A, B des sommets. 0,75 pt

c. Montrer que P1 = (0,9    0,1). 0,5 pt

2 On admet que, pour tout entier naturel n, on a :

an+1 = 0,9an + 0,06bn et bn+1 = 0,1an + 0,94bn.

Le directeur du groupe de presse souhaite visualiser l’évolution des deux types d’abonnements. Pour cela, on lui propose les deux algorithmes suivants :

Entrée

Saisir n

Traitement

a prend la valeur 1

b prend la valeur 0

Pour i allant de 1 à n

a prend la valeur 0,9×a+0,06×b

b prend la valeur 0,1×a+0,94×b

Afficher a et b

Fin Pour

Algorithme 1

Entrée

Saisir n

Traitement

a prend la valeur 1

b prend la valeur 0

Pour i allant de 1 à n

c prend la valeur a

a prend la valeur 0,9×a+0,06×b

b prend la valeur 0,1×c+0,94×b

Afficher a et b

Fin Pour

Algorithme 2

Sachant qu’un seul des algorithmes proposés permet de répondre au souhait du directeur, préciser lequel en justifiant la réponse. 0,75 pt

3 a. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a :

a n+1 =0,84 a n +0,06.       0,75 pt

b. On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par :

u n = a n 0,375.

Montrer que la suite (un) est une suite géométrique de raison 0,84 et calculer u0. 0,5 pt

c. Donner l’expression de un en fonction de n. 0,5 pt

En déduire que, pour tout entier naturel n, on a :

a n =0,375+0,625× 0,84 n .           0,5 pt

4 En résolvant une inéquation, déterminer l’année à partir de laquelle la proportion d’abonnés à la version papier du magazine devient inférieure à 50 %. 0,75 pt

Voir le corrigé

Cet article est réservé aux abonnés
ou aux acheteurs de livres ABC du Bac

Pour approfondir le thème...

Tle ES
Mathématiques
Algorithmique, Fonctions, Suites
Spécifique
Antilles-Guyane
Juin
2016
Bac
.icon_annales.png
On donne un tableau de variation d'une fonction f définie sur l'intervalle [-1 ; 3].
fonction | variation | équation | suite | algorithme
Tle ES
Mathématiques
Algorithmique, Matrices
Spécialité
Centres étrangers
Juin
2016
Bac
.icon_annales.png
Une compagnie aérienne utilise huit aéroports que l'on nomme A, B, C, D, E, F, G, et H.
aéroport | graphe | trajets | algorithme de Dijkstra | matrices
Tle ES
Mathématiques
Algorithmique, Matrices, Suites
Spécifique
Liban
Mai
2016
Bac
.icon_annales.png
L'entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d'entretien aux propriétaires de piscines privées.
piscines | contrats | algorithme | variables | suite
Tle ES
Mathématiques
Algorithmique, Suites
Spécialité
Liban
Mai
2016
Bac
.icon_annales.png
L'entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d'entretien aux propriétaires de piscines privées.
piscines | contrats | graphe probabiliste | probabilités | algorithme
Tle ES
Mathématiques
Algorithmique, Suites
Spécifique
Polynésie
Juin
2016
Bac
.icon_annales.png
Une entreprise s'intéresse au nombre d'écrans 3D qu'elle a vendus depuis 2010.
écrans 3D | suite arithmético-géométrique | relation de récurrence | inéquation | algorithme