Exercice

Dans le repère orthonormé (O; i → , j → , k → ) de l’espace, on considère pour tout réel m, le plan P_m d’équation :

1 4 m 2 x+(m–1)y+ 1 2 mz–3=0.

1 Pour quelle(s) valeur(s) de m le point A(1 ; 1 ; 1) appartient-il au plan P_m ?

2 Montrer que les plans P₁ et P_–4 sont sécants selon la droite (d) de représentation paramétrique :

(d){ x=12–2t y=9–2t z=t avect∈ℝ.

3 a. Montrer que l’intersection entre P₀ et (d) est un point noté B dont on déterminera les coordonnées.

b. Justifier que pour tout réel m, le point B appartient au plan P_m.

c. Montrer que le point B est l’unique point appartenant à P_m pour tout réel m.

4 Dans cette question, on considère deux entiers relatifs m et m' tels que :

– 10 ≤ m ≤ 10   et   – 10 ≤ m' ≤ 10.

On souhaite déterminer les valeurs de m et de m' pour lesquelles P_m et P_m' sont perpendiculaires.

a. Vérifier que P₁ et P_– 4 sont perpendiculaires.

b. Montrer que les plans P_m et P_m' sont perpendiculaires si et seulement si :

( m m ′ 4 ) 2 +(m–1)( m ′ –1)+ m m ′ 4 =0.

c. On donne l’algorithme suivant :

Quel est le rôle de cet algorithme ?

d. Cet algorithme affiche six couples d’entiers dont (– 4 ; 1), (0 ; 1) et (5 ; – 4).

Écrire les six couples dans l’ordre d’affichage de l’algorithme.