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Nouvelle-Calédonie
Mars
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Mathématiques
Géométrie dans l'espace, position relative de plans et droites
Géométrie dans l'espace
.icon_annales.png Vérifier que les deux plans sont perpendiculaires.

26Géométrie dans l’espace, position relative de plans et droites1 h 15

Nouvelle-Calédonie, mars 2016

Géométrie dans l’espace

Exercice

6 pts

Dans le repère orthonormé (O; i , j , k ) de l’espace, on considère pour tout réel m, le plan Pm d’équation :

1 4 m 2 x+(m1)y+ 1 2 mz3=0 .

1 Pour quelle(s) valeur(s) de m le point A(1 ; 1 ; 1) appartient-il au plan Pm ?

2 Montrer que les plans P1 et P–4 sont sécants selon la droite (d) de représentation paramétrique :

(d){ x=122t y=92t z=t avect.

3 a. Montrer que l’intersection entre P0 et (d) est un point noté B dont on déterminera les coordonnées.

b. Justifier que pour tout réel m, le point B appartient au plan Pm.

c. Montrer que le point B est l’unique point appartenant à Pm pour tout réel m.

4 Dans cette question, on considère deux entiers relatifs m et m' tels que :

– 10 ≤ m ≤ 10   et   – 10 ≤ m' ≤ 10.

On souhaite déterminer les valeurs de m et de m' pour lesquelles Pm et Pm' sont perpendiculaires.

a. Vérifier que P1 et P– 4 sont perpendiculaires.

b. Montrer que les plans Pm et Pm' sont perpendiculaires si et seulement si :

( m m 4 ) 2 +(m1)( m 1)+ m m 4 =0.

c. On donne l’algorithme suivant :

Variables :

m et m’ entiers relatifs

Traitement :

Pour m allant de – 10 à 10 :

Pour m’ allant de – 10 à 10 :

   Si (mm′)2 + 16(m – 1) (m′ – 1) + 4mm′ = 0

Alors Afficher (m ; m′)

Fin du Pour

Fin du Pour

Quel est le rôle de cet algorithme ?

d. Cet algorithme affiche six couples d’entiers dont (– 4 ; 1), (0 ; 1) et (5 ; – 4).

Écrire les six couples dans l’ordre d’affichage de l’algorithme.

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