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Inéquation
Algorithmique
Suites
.icon_annales.png Un loueur de voitures dispose au 1er mars 2015 d'un total de 10 000 voitures pour l'Europe.

Sujet 1Inéquation45 min

France métropolitaine, La Réunion, juin 2016

ES – Enseignement spécifique
L – Enseignement de spécialité

Suites

Algorithmique

Exercice

5 pts

Un loueur de voitures dispose au 1er mars 2015 d’un total de 10 000 voitures pour l’Europe.

Afin d’entretenir son parc automobile, il décide de revendre, au 1er mars de chaque année, 25 % de son parc et d’acheter 3 000 voitures neuves.

On modélise le nombre de voitures de l’agence à l’aide d’une suite.

Pour tout entier naturel n, on note un le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1er mars de l’année 2015 + n.

On a donc u0 = 10 000.

1 Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel n :

un+1 = 0,75un + 3 000. 0,5 pt

2 Pour tout entier naturel n, on considère la suite (vn) définie par :

vn = un − 12 000.

a. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser le premier terme. 0,5 pt

b. Exprimer vn en fonction de n.

Déterminer la limite de la suite (vn). 0,75 pt

c. Justifier que, pour tout entier naturel n :

un = 12 000 − 2 000 × 0,75n. 0,5 pt

d. En vous appuyant sur les réponses données aux deux questions précédentes, que pouvez-vous conjecturer sur le nombre de voitures que comptera le parc automobile de ce loueur au bout d’un grand nombre d’années ? 0,75 pt

3 On admet dans cette question que la suite (un) est croissante.

On aimerait déterminer l’année à partir de laquelle le parc automobile comptera au moins 11 950 voitures.

a. Recopier l’algorithme suivant et compléter les pointillés afin qu’il permette de répondre au problème posé.

Initialisation :

 

Traitement :

 

 

 

Sortie :

U prend la valeur 10 000

N prend la valeur 0

Tant que…

N prend la valeur…
U prend la valeur…

Fin Tant que

Afficher…

0,75 pt

b. À l’aide de la calculatrice, déterminer l’année recherchée. 0,5 pt

c. Retrouver ce résultat en résolvant l’inéquation :

12 000 − 2 000 × 0,75n ≥ 11 950. 0,75 pt

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