Exercice

Un loueur de voitures dispose au 1^er mars 2015 d’un total de 10 000 voitures pour l’Europe.

Afin d’entretenir son parc automobile, il décide de revendre, au 1^er mars de chaque année, 25 % de son parc et d’acheter 3 000 voitures neuves.

On modélise le nombre de voitures de l’agence à l’aide d’une suite.

Pour tout entier naturel n, on note u_n le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1^er mars de l’année 2015 + n.

On a donc u₀ = 10 000.

1 Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel n :

u_n+1 = 0,75u_n + 3 000. 0,5 pt

2 Pour tout entier naturel n, on considère la suite (v_n) définie par :

v_n = u_n − 12 000.

a. Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser le premier terme. 0,5 pt

b. Exprimer v_n en fonction de n.

Déterminer la limite de la suite (v_n). 0,75 pt

c. Justifier que, pour tout entier naturel n :

u_n = 12 000 − 2 000 × 0,75ⁿ. 0,5 pt

d. En vous appuyant sur les réponses données aux deux questions précédentes, que pouvez-vous conjecturer sur le nombre de voitures que comptera le parc automobile de ce loueur au bout d’un grand nombre d’années ? 0,75 pt

3 On admet dans cette question que la suite (u_n) est croissante.

On aimerait déterminer l’année à partir de laquelle le parc automobile comptera au moins 11 950 voitures.

a. Recopier l’algorithme suivant et compléter les pointillés afin qu’il permette de répondre au problème posé.

b. À l’aide de la calculatrice, déterminer l’année recherchée. 0,5 pt

c. Retrouver ce résultat en résolvant l’inéquation :

12 000 − 2 000 × 0,75ⁿ ≥ 11 950. 0,75 pt