Exercice

Les deux parties sont indépendantes

Le robot Tom doit emprunter un pont sans garde-corps de 10 pas de long et de 2 pas de large. Sa démarche est très particulière :

– soit il avance d’un pas tout droit ;

– soit il se déplace en diagonale vers la gauche (déplacement équivalent à un pas vers la gauche et un pas tout droit) ;

– soit il se déplace en diagonale vers la droite (déplacement équivalent à un pas vers la droite et un pas tout droit).

On suppose que ces trois types de déplacement sont aléatoires et équiprobables.

L’objectif de cet exercice est d’estimer la probabilité p de l’événement S « Tom traverse le pont » c’est-à-dire « Tom n’est pas tombé dans l’eau et se trouve encore sur le pont au bout de 10 déplacements ».

Partie A

Modélisation et simulation

On schématise le pont par un rectangle dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ; I, J) comme l’indique la figure ci-dessous. On suppose que Tom se trouve au point de coordonnées (0 ; 0) au début de la traversée. On note (x ; y) les coordonnées de la position de Tom après x déplacements.

On a écrit l’algorithme suivant qui simule la position de Tom au bout de x déplacements :

1 On donne les couples suivants : (–1 ; 1) ; (10 ; 0) ; (2 ; 4) ; (10 ; 2).

Lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme ? Justifier la réponse.

2 Modifier cet algorithme pour qu’à la place de « la position de Tom est (x ; y) », il affiche finalement « Tom a réussi la traversée » ou « Tom est tombé ».

Partie B

Pour tout n entier naturel compris entre 0 et 10, on note :

● A_n l’événement « après n déplacements, Tom se trouve sur un point d’ordonnée –1 ».

● B_n l’événement « après n déplacements, Tom se trouve sur un point d’ordonnée 0 ».

● C_n l’événement « après n déplacements, Tom se trouve sur un point d’ordonnée 1 ».

On note a_n, b_n, c_n les probabilités respectives des événements A_n, B_n, C_n.

1 Justifier que a₀ = 0, b₀ = 1, c₀ = 0.

2 Montrer que pour tout entier naturel n compris entre 0 et 9 :

{ a n+1 = a n + b n 3 b n+1 = a n + b n + c n 3

On pourra s’aider d’un arbre pondéré.

3 Calculer les probabilités P(A₁), P(B₁) et P(C₁).

4 Calculer la probabilité que Tom se trouve sur le pont au bout de deux déplacements.

5 À l’aide d’un tableur, on a obtenu la feuille de calcul ci-dessous qui donne des valeurs approchées de a_n, b_n, c_n, pour n compris entre 0 et 10.

Donner la valeur approchée à 0,001 près de la probabilité que Tom traverse le pont (on pourra s’aider du tableau ci-dessus).