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Amérique du Nord
Juin
2015
Bac
Spécialité
Tle L
Mathématiques
Suite, algorithme - Effectif d'une population
Algorithmique
Suites
.icon_annales.png Dans une réserve naturelle, on étudie l'évolution de la population d'une race de singes en voie d'extinction à cause d'une maladie.

Sujet 2Suite, algorithme – Effectif d’une population1 heure

Amérique du Nord, juin 2015

ES – Enseignement spécifique
L – Enseignement de spécialité

Suite

Algorithmique

Exercice

6 pts

Dans une réserve naturelle, on étudie l’évolution de la population d’une race de singes en voie d’extinction à cause d’une maladie.

 

Partie A

Une étude sur cette population de singes a montré que leur nombre baisse de 15 % chaque année. Au 1er janvier 2004, la population était estimée à 25 000 singes.

À l’aide d’une suite, on modélise la population au 1er janvier de chaque année. Pour tout entier naturel n, le terme un de la suite représente le nombre de singes au 1er janvier de l’année 2004 + n. On a ainsi u0 = 25 000.

1 Calculer l’effectif de cette population de singes :

a. au 1er janvier 2005 ; 0,25 pt

b. au 1er janvier 2006, en arrondissant à l’entier. 0,25 pt

2 Justifier que, pour tout entier naturel n, on a un = 25 000 × 0,85n.
0,5 pt

3 Suivant ce modèle, on souhaite savoir, à l’aide d’un algorithme, au bout de combien d’années après le 1er janvier 2004 le nombre de singes sera inférieur à 5 000.

Recopier et compléter les lignes L4, L5 et L6 de l’algorithme ci-dessous.

L1 : Variables

u un réel, n un entier

L2 : Initialisation

u prend la valeur 25 000

L3 :

n prend la valeur 0

L4 : Traitement

Tant que ……………….. faire

L5 :

           u prend la valeur ………..

L6 :

           n prend la valeur ………

L7 :

Fin Tant que

L8 : Sortie

Afficher n

4 Montrer que la valeur de n affichée après l’exécution de l’algorithme est 10. 1 pt

 

Partie B

Au 1er janvier 2014, une nouvelle étude a montré que la population de cette race de singes, dans la réserve naturelle, ne comptait plus que 5 000 individus. La maladie prenant de l’ampleur, on met en place un programme de soutien pour augmenter le nombre de naissances. À partir de cette date, on estime que, chaque année, un quart des singes disparaît et qu’il se produit 400 naissances.

On modélise la population de singes dans la réserve naturelle à l’aide d’une nouvelle suite. Pour tout entier naturel n, le terme vn de la suite représente le nombre de singes au 1er janvier de l’année 2014 + n. On a ainsi v0 = 5 000.

1 a. Calculer v1 et v2. 0,5 pt

b. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a :

v1 = 0,75 × vn + 400.
0,5 pt

2 On considère la suite (wn) définie pour tout entier naturel n par :

wn = vn – 1 600.

a. Montrer que (wn) est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser la valeur de w0. 0,5 pt

b. Pour tout entier naturel n, exprimer wn en fonction de n. 0,5 pt

c. En déduire que pour tout entier naturel n, on a :

vn = 1 600 + 3 400 × 0,75n.
0,5 pt

d. Calculer la limite de la suite (vn) et interpréter ce résultat. 0,5 pt

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