Conforme au programme
Mai
2016
Spécifique
Tle S
Mathématiques
Utilisation des algorithmes en géométrie
Algorithmique
Géométrie dans le plan
Suites
On divise chaque côté d'un triangle équilatéral de côté 1 en 3 segments de même longueur.

Sujet 8Utilisation des algorithmes en géométrie

Banque d’épreuves FESIC
Concours Puissance 11, mai 2016

Concours

Géométrie dans le plan
Algorithmique
Suites

Exercice Vrai-Faux

img1
img2

Calculatrice interdite ; répondre par Vrai ou Faux sans justification ; + 1 si bonne réponse, – 1 si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d’un point pour un exercice entièrement juste.

On effectue le programme de construction ci-dessous :

Étape 1 :

 On divise chaque côté d’un triangle équilatéral de côté 1 en 3 segments de même longueur (par exemple les segments : [A ; C2], [C2 ; C1] et [C1 ; C]).

 Sur chacun des côtés du triangle, on construit, à l’extérieur du triangle, un triangle équilatéral ayant pour base le second segment (par exemple le triangle C1C2C3 ayant pour base le segment [C2 ; C1] pour le côté [A ; C]).

Étapes suivantes :

Sur chaque triangle obtenu à l’étape précédente, on construit deux nouveaux triangles équilatéraux selon le même procédé de construction que celui de l’étape 1.

img3
img4
img5

Pour tout entier naturel n, on pose :

 un le nombre de triangles construits à l’étape n,

 ln la longueur du côté du triangle équilatéral construit à l’étape n,

 hn la hauteur du triangle équilatéral construit à l’étape n,

 sn la surface que l’on colore à l’étape n.

a.  h 1 = 1 2× 3 .

b. La suite (ln)n ≥ 0 est une suite géométrique de raison q= 1 3 .

c.  h n = 3 2× 3 n .

d. Si n ≥ 1, alors s n = 3× 3 × ( 2 9 ) n 8 .

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