Exercice

Une enquête a été réalisée auprès des élèves inscrits à la demi-pension d’un lycée. Les résultats révèlent que :

● 95 % des élèves déclarent manger régulièrement à la cantine et parmi ceux-ci, 70 % sont satisfaits de la qualité des repas ;

● 20 % des élèves qui ne mangent pas régulièrement sont satisfaits de la qualité des repas.

On choisit un élève au hasard parmi les élèves inscrits à la demi-pension.

On note les événements suivants :

● R l’événement « l’élève mange régulièrement à la cantine » ;

● S l’événement « l’élève est satisfait ».

On notera R ¯ et S ¯ les événements contraires de R et S.

1 Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

2 Calculer la probabilité que l’élève mange régulièrement à la cantine et soit satisfait de la qualité des repas.

3 Montrer que la probabilité de l’événement S est égale à 0,675.

4 Sachant que l’élève n’est pas satisfait de la qualité des repas, calculer la probabilité qu’il mange régulièrement à la cantine. Donner le résultat arrondi à 10^– 3.

5 On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves inscrits à la demi-pension.

On note X la variable aléatoire égale au nombre d’élèves déclarant être satisfaits de la qualité des repas. Le nombre d’élèves étant suffisamment grand, on considère que X suit une loi binomiale.

Les résultats seront arrondis au millième.

a. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.

b. Calculer la probabilité de l’événement A « les quatre élèves sont satisfaits de la qualité des repas ».

c. Décrire à l’aide d’une phrase l’événement A ¯ et calculer sa probabilité.