Exercice

Dans un pays, seulement deux opérateurs de téléphonie mobile SAFIR et TECIM proposent la 4G (standard de transmission de données).

Une étude a montré que, d’une année à l’autre :

• 41 % des clients de l’opérateur SAFIR le quittent pour l’opérateur TECIM ;

• 9 % des clients de l’opérateur TECIM le quittent pour l’opérateur SAFIR ;

• aucun client ne renonce à l’utilisation de la 4G.

Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste 𝒢, de sommets S et T où :

• S est l’événement « l’utilisateur de la 4G est un client de l’opérateur SAFIR » ;

• T est l’événement « l’utilisateur de la 4G est un client de l’opérateur TECIM » .

Chaque année, on choisit au hasard un utilisateur de la 4G et on note pour tout entier naturel n :

• s_n la probabilité que cet utilisateur soit un client de l’opérateur SAFIR en 2014 + n ;

• t_n la probabilité que cet utilisateur soit un client de l’opérateur TECIM en 2014 + n.

On note P_n = (s_n    t_n) la matrice ligne de l’état probabiliste pour l’année 2014 + n.

Dans cet exercice, on se propose de savoir si l’opérateur TECIM atteindra l’objectif d’avoir comme clients au moins 80 % de la population utilisatrice de la 4G.

Partie A

1 Dessiner le graphe probabiliste 𝒢. 0,5 pt

2 On admet que la matrice de transition du graphe 𝒢, en considérant les sommets dans l’ordre S et T est :

M=( 0,59 0,41 0,09 0,91 ).

On note P = (a    b) la matrice ligne correspondant à l’état stable de ce graphe 𝒢.

a. Montrer que les nombres a et b sont solutions du système :

{ 0,41a−0,09b=0 a+b=1 .
0,25 pt

b. Résoudre le système précédent. 0,25 pt

3 On admet que a = 0,18 et b = 0,82.

Déterminer, en justifiant, si l’opérateur TECIM peut espérer atteindre son objectif. 0,5 pt

Partie B

En 2014, on sait que 35 % des utilisateurs de la 4G sont des clients de l’opérateur SAFIR et que 65 % sont des clients de l’opérateur TECIM. Ainsi P₀ = (0,35    0,65).

1 Déterminer la répartition des clients de la 4G au bout de 2 ans. 0,5 pt

2 Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :

t_n + 1 = 0,5t_n + 0,41.
0,5 pt

3 Pour déterminer au bout de combien d’années l’opérateur TECIM atteindra son objectif, on a commencé par élaborer l’algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes L6, L7 et L9 de cet algorithme pour qu’il donne le résultat attendu.

0,5 pt

4 On considère la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par :

u_n = t_n – 0,82.

a. Montrer que la suite (u_n) est une suite géométrique de raison 0,5. Préciser son premier terme. 0,5 pt

b. En déduire que t_n = – 0,17 × 0,5ⁿ + 0,82.
0,5 pt

c. Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation :

– 0,17 × 0,5ⁿ + 0,82 ≥ 0,80.
0,5 pt

d. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé. 0,5 pt