Exercice

Dans une réserve naturelle, on étudie l’évolution de la population d’une race de singes en voie d’extinction à cause d’une maladie.

Partie A

Une étude sur cette population de singes a montré que leur nombre baisse de 15 % chaque année. Au 1^er janvier 2004, la population était estimée à 25 000 singes.

À l’aide d’une suite, on modélise la population au 1^er janvier de chaque année. Pour tout entier naturel n, le terme u_n de la suite représente le nombre de singes au 1^er janvier de l’année 2004 + n. On a ainsi u₀ = 25 000.

1 Calculer l’effectif de cette population de singes :

a. au 1^er janvier 2005 ; 0,25 pt

b. au 1^er janvier 2006, en arrondissant à l’entier. 0,25 pt

2 Justifier que, pour tout entier naturel n, on a u_n = 25 000 × 0,85ⁿ.
0,5 pt

3 Suivant ce modèle, on souhaite savoir, à l’aide d’un algorithme, au bout de combien d’années après le 1^er janvier 2004 le nombre de singes sera inférieur à 5 000.

Recopier et compléter les lignes L4, L5 et L6 de l’algorithme ci-dessous.

4 Montrer que la valeur de n affichée après l’exécution de l’algorithme est 10. 1 pt

Partie B

Au 1^er janvier 2014, une nouvelle étude a montré que la population de cette race de singes, dans la réserve naturelle, ne comptait plus que 5 000 individus. La maladie prenant de l’ampleur, on met en place un programme de soutien pour augmenter le nombre de naissances. À partir de cette date, on estime que, chaque année, un quart des singes disparaît et qu’il se produit 400 naissances.

On modélise la population de singes dans la réserve naturelle à l’aide d’une nouvelle suite. Pour tout entier naturel n, le terme v_n de la suite représente le nombre de singes au 1^er janvier de l’année 2014 + n. On a ainsi v₀ = 5 000.

1 a. Calculer v₁ et v₂. 0,5 pt

b. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a :

v_n + 1 = 0,75 × v_n + 400.
0,5 pt

2 On considère la suite (w_n) définie pour tout entier naturel n par :

w_n = v_n – 1 600.

a. Montrer que (w_n) est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser la valeur de w₀. 0,5 pt

b. Pour tout entier naturel n, exprimer w_n en fonction de n. 0,5 pt

c. En déduire que pour tout entier naturel n, on a :

v_n = 1 600 + 3 400 × 0,75ⁿ.
0,5 pt

d. Calculer la limite de la suite (v_n) et interpréter ce résultat. 0,5 pt