Exercice

Soit a un nombre réel fixé non nul.

Le but de cet exercice est d’étudier la suite (u_n) définie par u₀ = a et, pour tout n de ℕ :

u n+1 = e 2 u n – e u n.

On remarquera que cette égalité peut aussi s’écrire :

u n+1 = e u n ( e u n –1).

1 Soit g la fonction définie pour tout réel x par g(x) = e^2x – e^x – x.

a. Calculer g′(x) et prouver que, pour tout réel x, g′(x) = (e^x – 1)(2e^x + 1). 0,5 pt

b. Déterminer les variations de la fonction g et donner la valeur de son minimum. 0,5 pt

c. En remarquant que u_n + 1 – u_n = g(u_n), étudier le sens de variation de la suite (u_n). 0,5 pt

2 Dans cette question, on suppose que a ≤ 0.

a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_n ≤ 0. 0,5 pt

b. Déduire des questions précédentes que la suite (u_n) est convergente. 0,5 pt

c. Dans le cas où a vaut 0, donner la limite de la suite (u_n). 0,75 pt

3 Dans cette question, on suppose que a > 0.

La suite (u_n) étant croissante, la question 1 permet d’affirmer que, pour tout entier naturel n, u_n ≥ a.

a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a u_n + 1 – u_n ≥ g(a). 0,75 pt

b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a :

u_n ≥ a + n × g(a). 0,75 pt

c. Déterminer la limite de la suite (u_n). 0,75 pt

4 Dans cette question, on prend a = 0,02.

L’algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier n tel que u_n > M, où M désigne un réel positif. Cet algorithme est incomplet.

a. Sur la copie, recopier la partie « Traitement » en la complétant. 0,75 pt

b. À l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si M = 60. 0,75 pt